Question

水平固定的兩根足夠長的平行光滑桿AB和CD，兩桿之間的距離為d，兩桿上各穿有質量分別為m₁=4kg和m₂=2kg的小球，兩小球之間用一輕質彈簧連接，彈簧的自由長度也為d．開始時，彈簧處于自然伸長狀態，兩小球靜止，如圖（a）所示．現給小球m₁一沿桿向右方向的瞬時沖量，以向右為速度的正方向，得到m₁的速度--時間圖象為如圖（b）所示的周期性圖象（以小球m₁獲得瞬時沖量開始計時）．

（1）在圖（b）中作出小球m₂的速度-時間圖象；
（2）若在光滑桿上小球m₂左側較遠處還穿有另一質量為m₃=2kg的小球，該小球在某一時刻開始向右勻速運動，速率為v=4m/s，它將遇到小球m₂并與m₂結合在一起運動，求：在以后的過程中，彈簧彈性勢能的最大值的范圍？

Answer 1

分析：m₁和m₂運動過程中動量守恒，根據動量守恒定律求出2的幾個速度值，描點連成光滑曲線即可；
m₂和m₃碰撞后，根據系統動量守恒定律，能量守恒定律求解．

解答：解：（1）以m₁=1kg和m₂=2kg組成的系統在相互作用過程中，水平方向動量守恒，所以
m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
解得：v₂=

v0-v1

2

．
當v₁=6m/s時v₂=0
當v₁=2m/s時v₂=2m/s
當v₁=-2m/s時v₂=4m/s
所以m₂的速度范圍是0≤v₂≤4m/s
所以一個周期內m₂球的v-t圖象如圖所示．
（2）設m₂和m₃碰撞后的速度是v₂₃
m₂v₂-m₃v=（m₂+m₃）v₂₃
設m₂和m₃碰撞過程中機械能損失△E
△E=

1

2

m3v2+

1

2

m2v22-

1

2

(m2+m3)v232
解得△E=

3(v2+4)2

5

．
當v₂=0，損失的機械能最小，△E_min=9.6J
當v₂=4，損失的機械能最大，△E_max=38.4J
當三個球的速度相同時，彈性勢能最大，
根據動量守恒得m₁v₀-m₃v=（m₁+m₂+m₃）v_共
解得：v_共=-1m/s
整個相同具有的總機械能E_總=

1

2

m1v02+

1

2

m3v2
設彈簧彈性勢能的最大值是E_p，對全過程應用能量守恒定律得：
E_總=

1

2

(m1+m2+m3)v共2+△E+Ep
彈簧彈性勢能的最大值E_p=39-△E
彈簧彈性勢能的最大值的范圍是0.6J～29.4J
答：（1）如圖所示．
（2）彈簧彈性勢能的最大值的范圍為0.6J～29.4J．

點評：本題主要考查了動量守恒定律，能量守恒定律的應用，解題的關鍵是分析小球的運動情況，知道什么時候彈性勢能最大，過程較為復雜，難度較大，屬于難題．