Question

水平固定的兩根足夠長的平行光滑桿MN、PQ，兩者之間的間距為L，兩光滑桿上分別穿有一個質量分別為M_A=0.1kg和M_B=0.2kg的小球A、B，兩小球之間用一根自然長度也為L的輕質橡皮繩相連接，開始時兩小球處于靜止狀態，輕質橡皮繩處于自然伸長狀態，如圖（a）所示．現給小球A一沿桿向右的水平瞬時沖量I，以向右為速度正方向，得到A球的速度-時間圖象如圖（b）所示．（以小球A獲得瞬時沖量開始計時，以后的運動中橡皮繩的伸長均不超過其彈性限度．）
（1）求瞬時沖量I的大小；
（2）在圖（b）中大致畫出B球的速度-時間圖象；
（3）若在A球的左側較遠處還有另一質量為M_C=0.1kg小球C，某一時刻給C球4m/s的速度向右勻速運動，它將遇到小球A，并與之結合在一起運動，試定量分析在各種可能的情況下橡皮繩的最大彈性勢能．

Answer 1

分析：（1）由圖象得出A的初速度，根據動量定理求出瞬時沖量的大小．
（2）根據動量守恒定律求出AB速度相同時的速度，以及A的速度為-2m/s時，B的速度．從而大致畫出B球的速度時間圖象．
（3）不論A、C兩球何時何處相互作用，三球相互作用的過程中三球具有的共同速度是一個定值，即三球速度相同時的總動能是一定值．根據動量守恒求出三球的共同速度，此時橡皮繩的彈性勢能最大．抓住當A球在運動過程中速度減為4m/s與C球同向時，C球與之相碰時系統損失能量最小，A球在運動過程中速度為2m/s與C球反向時，C球與之相碰時系統損失能量最大，根據損失的能量轉換為彈性勢能，得出彈性勢能最大值的范圍．

解答：解：（1）由圖象得V_A=6m/s，
又I=M_AV_A-0=0.6N．m
（2）B的速度-時間圖象如圖
M_AV_A=（M_A+M_B）V₁
 V₁=2m/s
M_AV_A=M_AV_A′+M_BV₂ 
 解得V₂=4m/s
（3）因A、B、C三小球水平方向系統不受外力，故動量守恒．
由此可得：不論A、C兩球何時何處相互作用，三球相互作用的過程中三球具有的共同速度是一個定值，即三球速度相同時的總動能是一定值．
M_AV_A+M_CV_C=（M_A+M_B+M_C）V_共  
解得V_共=2.5m/s
當三球速度相同時橡皮繩子彈性勢能最大，所以當A球在運動過程中速度減為4m/s與C球同向時，C球與之相碰時系統損失能量最小（為0），此情況下三球在運動過程中橡皮繩具有的最大彈性勢能為E_PM1
E_PM1=

1

2

M_AV_A²+

1

2

M_CV_C²-

1

2

（M_A+M_B+M_C）V_共²=1.35J
當A球在運動過程中速度為2m/s與C球反向時，C球與之相碰時系統損失能量最大，此情況下三球運動的過程中橡皮繩具有的最大彈性勢能為E_PM2
M_CV_C-M_AV_A=（M_A+M_C）V₃
解得V₃=1m/s
E_PM2=

1

2

（M_A+M_C）V₃²+

1

2

M_BV₂²-

1

2

（M_A+M_B+M_C）V_共²=0.45J
由上可得：橡皮繩具有的最大彈性勢能E_PM的可能值在0.45J-1.35J的范圍內．
答：（1）瞬時沖量I的大小為0.6N．m．
（2）如圖所示．
（3）橡皮繩具有的最大彈性勢能E_PM的可能值在0.45J-1.35J的范圍內．

點評：本題綜合考查了動量守恒定律、動量定理以及能量守恒定律，綜合性較強，對學生的能力要求較高，尤其第（3）問，知道最終系統動能為定值，結合能量守恒定律求出彈性勢能的最大值．