Question

如圖所示，在坐標系的第一、四象限存在一寬度為a、垂直紙面向外的有界勻強磁場，磁感應強度的大小為B；在第三象限存在與y軸正方向成θ=60?角的勻強電場．一個粒子源能釋放質量為m、電荷量為+q的粒子，粒子的初速度可以忽略．粒子源在點P（-

3

2

a，-

1

2

a）時發出的粒子恰好垂直磁場邊界EF射出；將粒子源沿直線PO移動到Q點時，所發出的粒子恰好不能從EF射出．不計粒子的重力及粒子間相互作用力．求：
（1）勻強電場的電場強度；
（2）PQ的長度；
（3）若僅將電場方向順時針轉動60?，粒子源仍在PQ間移動并釋放粒子，試判斷這些粒子第一次從哪個邊界射出磁場并確定射出點的縱坐標范圍．

Answer 1

分析：（1）對直線加速過程根據動能定理列式，畫出軌跡后結合幾何關系確定軌道半徑，然后根據牛頓第二定律列式求解；
（2）先對從Q到O過程根據動能定理列式求解，再次畫出軌跡后結合幾何關系確定軌道半徑，最后根據牛頓第二定律列式求解；
（3）先根據動能定理確定進入磁場的初速度，然后畫出軌道，結合幾何關系確定射出點．

解答：解：（1）粒子源在P點時，粒子在電場中被加速；
點P坐標為：（-

3

2

a，-

1

2

a），故PO=

( 3 2 a)2+( 1 2 a)2

=a
根據動能定理，有：
qEa=

1

2

m

v

2 1

                  
解得：
v1=

2qEa m

                            
粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律，有：
qv1B=m

v 2 1

R1

由幾何關系知，半徑：
R1=

a

cosθ

=2a      
解得：
E=

2qB2a

m

                        
（2）粒子源在Q點時，設OQ=d，根據動能定理，有：
qEd=

1

2

m

v

2 2

       
根據牛頓第二定律，有：
qv2B=m

v 2 2

R2

    
粒子在磁場中運動軌跡與邊界EF相切，由幾何關系知：
R₂cos60°+R₂=a
R 2=

2

3

a             
聯立解得：
d=

a

9

                       
長度：PQ=OP-OQ=

8a

9

                 
（3）若將電場方向變為與y軸負方向成θ=60°角，由于加速距離相等，電場力大小也相等，粒子源在P、Q兩點處時，粒子經電場加速后到進入磁場時的速率與第一問中速率相等，仍為v₁、v₂．從P、Q點發出的粒子在磁場中的軌道半徑仍為：R₁=2a、R₂=

2

3

a；
從P發出的粒子第一次從y軸上N點射出，由幾何關系知軌道正好與EF相切，N點的縱坐標：yN=-(a+2R1sin60°)=-(1+2

3

)a    
同理可求，從Q發出的粒子第一次從y軸上M點射出，M點的縱坐標：
yN=-(

1

9

a+2R2sin60°)=-

(1+6 3 )a

9

                   
即射出點的縱坐標范圍[-

(1+6 3 )a

9

，-(1+2

3

)a]
答：（1）勻強電場的電場強度為

2qB2a

m

；
（2）PQ的長度為

8a

9

；
（3）這些粒子第一次從左邊界射出磁場，射出點的縱坐標范圍為[-

(1+6 3 )a

9

，-(1+2

3

)a]．

點評：本題關鍵是明確粒子的運動規律，畫出運動軌跡，然后分階段根據動能定理，牛頓第二定律列式求解．