Question

（20分）如圖（甲）所示，兩光滑導軌都由水平、傾斜兩部分圓滑對接而成，相互平行放置，兩導軌相距L＝lm ，傾斜導軌與水平面成θ＝30°角，傾斜導軌的下面部分處在一垂直斜面的勻強磁場區I中，I區中磁場的磁感應強度B₁隨時間變化的規律如圖（乙）所示，圖中t₁、t₂未知。水平導軌足夠長，其左端接有理想電流表G和定值電阻R＝3Ω，水平導軌處在一豎直向上的勻強磁場區Ⅱ中，Ⅱ區中的磁場恒定不變，磁感應強度大小為B₂＝1T ，在t＝0時刻，從斜軌上磁場I 區外某處垂直于導軌水平釋放一金屬棒ab，棒的質量m＝0.1kg，電阻r＝2Ω，棒下滑時與導軌保持良好接觸，棒由傾斜導軌滑向水平導軌時無機械能損失，導軌的電阻不計。若棒在斜面上向下滑動的整個過程中，電流表G的示數大小保持不變，t₂時刻進入水平軌道，立刻對棒施一平行于框架平面沿水平方向且與桿垂直的外力。（g取10m/s²）求：

（l）ab 棒進入磁場區I 時的速度v；
（2）磁場區I在沿斜軌方向上的寬度d；
（3）棒從開始運動到剛好進入水平軌道這段時間內ab棒上產生的熱量；
（4）若棒在t₂時刻進入水平導軌后，電流表G的電流大小I隨時間t變化的關系如圖（丙）所示（I₀未知），已知t₂到t₃的時間為0.5s，t₃到t₄的時間為1s，請在圖（丁）中作出t₂到t₄時間內外力大小
F隨時間t變化的函數圖像。

Answer 1

（1）2.5m/s（2）0.625m（3）0.375J（4）見解析

(20分)
(1)電流表的示數不變，說明在整個下滑過程中回路的的電動勢是不變的，說明在B變化時和不變時感應電動勢大小一樣，所以可以判斷在t₁時刻棒剛好進入磁場區域且做勻速直線運動。
mgsin-BIL=0，  ，    E₁=BLV,  代入數值得v=2.5m/s        （4分）
（2）沒進入磁場以前做勻加速直線運動，加速度是  a=gsin30⁰=5m/s²,  v=at,  t₁=0.5s  ,
下滑的距離是s₁=at₂=0.625m，再沒進入磁場以前，由于B均勻變化，所以E₂=，        
又E₁=BLV   E₁= E₂ ，  41d=112.5，   d=0.625m                 （6分）
（3）ab棒進入磁場以前，棒上產生的熱量為    Q₁=I²Rt₁=0.5²×2×0.5J=0.25J
取ab棒在斜軌磁場中運動為研究過程，    mgd sin-Q₂=0      Q₂="0.3125J."
此時，棒上產生的熱量是Q_2r==0.125J                       
則棒上產生的總熱量是Qr= Q₁+Q_2r="0.375" J               （6分）
或：Q_r=I²R（t₁+t₂）=0.5²×2×(0.5+0.25)J=0.375J
(4) 因為E=BLv，所以剛進水平軌道時時的電動勢是E=2.5V,   I₀==0.5A
取t₂時刻為零時刻，則根據圖線可以寫出I-t的方程式：I=0.5-tˊ，I=,
則v="2.5-5" tˊ，所以a₁=5m/s².有牛頓第二定律可得：F+BIL=ma₁，F+I=1  F=tˊ
畫在坐標系里。

由丙圖可以同理得出棒運動的加速度大小是a₂=2.5m/s²,依據牛頓定律得F-BIL=ma₂
取t₃時刻為零時刻，可以寫出t₃時刻后的I與時間的關系式，I="0.5" t ，代入上面的式子可以得到F=0.25+0.5t畫在坐標系里。(圖中圖線作為參考)                       （4分）
本題考查的是電磁感應定律和力學綜合的相關問題，根據電磁感應定律和勻速直線運動的受力平衡可以求出運動速度；根據勻加速直線運動的規律求出磁場寬度；根據焦耳定律和功能關系可以求出產生的焦耳熱；根據歐姆定律和牛頓第二定律可以得出力與時間的關系；