Question

（10分）如圖甲所示，三個物體A、B、C靜止放在光滑水平面上，物體A、B用一輕質彈簧連接，并用細線拴連使彈簧處于壓縮狀態，此時彈簧長度L=0.1m；三個物體的質量分別為m_A=0.1kg、m_B=0.2kg和m_C=0.1kg。現將細線燒斷，物體A、B在彈簧彈力作用下做往復運動（運動過程中物體A不會碰到物體C）。若此過程中彈簧始終在彈性限度內，并設以向右為正方向，從細線燒斷后開始計時，物體A的速度‒時間圖象如圖18乙所示。求：

（1）物體B運動速度的最大值；

（2）從細線燒斷到彈簧第一次伸長到L₁=0.4m時，物體B運動的位移大小；

（3）若在某時刻使物體C以v_C=4m/s的速度向右運動，它將與正在做往復運動的物體A發生碰撞，并立即結合在一起，試求在以后的運動過程中，彈簧可能具有的最大彈性勢能的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）2m/s（2）x_B=0.1m（3）0.2J≤E_pm<1.8J

【解析】

試題分析：（1）對于物體A、B與輕質彈簧組成的系統，當燒斷細線后動量守恒，設物體B運動的最大速度為v_B，有

m_Av_A+m_Bv_B=0

 

由圖乙可知，當t=時，物體A的速度v_A達到最大，v_A=-4m/s

則v_B=2m/s

即物體B運動的最大速度為2m/s           （2分）

（2）設A、B的位移大小分別為x_A、x_B，瞬時速度的大小分別為v¢_A、v¢_B

 由于系統動量守恒，則在任何時刻有 m_Av¢_A-m_Bv¢_B=0

則在極短的時間Δt內有    m_Av¢_AΔt-m_Bv¢_BΔt=0

m_Av¢_AΔt=m_Bv¢_BΔt

累加求和得：  m_A∑v¢_AΔt=m_B∑v¢_BΔt

m_Ax_A=m_Bx_B

 

依題意  x_A+x_B=L₁- L

解得  x_B=0.1m          （4分）

（3）因水平方向系統不受外力，故系統動量守恒，因此，不論A、C兩物體何時何處相碰，三物體速度相同時的速度是一個定值，總動能也是一個定值，且三個物體速度相同時具有最大彈性勢能。

設三個物體速度相同時的速度為v_共

依據動量守恒定律有m_Cv_C=（m_A＋m_B＋m_C）v_共，解得v_共 ＝1m/s

當A在運動過程中速度為4m/s且與C同向時，跟C相碰，A、C相碰后速度v₁= v_A= v_C，設此過程中具有的最大彈性勢能為E₁

由能量守恒 =1.8J

當A在運動過程中速度為-4m/s時，跟C相碰，設A、C相碰后速度為v₂，由動量守恒

m_C v_C–m_A v_A＝（m_A + m_C）v₂，  解得v₂=0

設此過程中具有的最大彈性勢能設為E₂

由能量守恒＝0.2J

由上可得：彈簧具有的最大彈性勢能E_pm的可能值的范圍：0.2J≤E_pm<1.8J。（4分）

說明：計算題中用其他方法計算正確同樣得分。

考點：動量守恒定律 能量守恒定律