Question

如圖甲所示，三個物體A、B、C靜止放在光滑水平面上，物體A、B用一輕質彈簧連接，并用細線拴連使彈簧處于壓縮狀態，此時彈簧長度L=0.1m；三個物體的質量分別為m_A=0.1kg、m_B=0.2kg和m_C=0.1kg．現將細線燒斷，物體A、B在彈簧彈力作用下做往復運動（運動過程中物體A不會碰到物體C）．若此過程中彈簧始終在彈性限度內，并設以向右為正方向，從細線燒斷后開始計時，物體A的速度?時間圖象如圖乙所示．求：
（1）物體B運動速度的最大值；
（2）從細線燒斷到彈簧第一次伸長到L₁=0.4m時，物體B運動的位移大��；
（3）若在某時刻使物體C以v_C=4m/s的速度向右運動，它將與正在做往復運動的物體A發生碰撞，并立即結合在一起，試求在以后的運動過程中，彈簧可能具有的最大彈性勢能的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對于物體A、B與輕質彈簧組成的系統，燒斷細線后系統的動量守恒，當A的速度最大時，B的速度也最大，由圖讀出A的最大速度，即可求得B運動速度的最大值；
（2）根據A、B系統的動量守恒列式，結合在極短的時間△t內位移等于速度與時間△t的乘積，得到A、B位移x_A、x_B關系，依題意：x_A+x_B=L₁-L，聯立即可求得物體B運動的位移大小；
（3）A、B、C組成的系統動量守恒，可知三物體速度相同時的速度是一個定值，總動能也是一個定值，此時彈性勢能最大．當A與C同向相撞和反向相撞時，根據系統的動量守恒和能量守恒列式求解．

解答：解：（1）對于物體A、B與輕質彈簧組成的系統，當燒斷細線后動量守恒，設物體B運動的最大速度為v_B，有：
m_Av_A+m_Bv_B=0
v_B=-

mAvA

mB

=-

1

2

v_A，
由圖乙可知，當t=

T

4

時，物體A的速度v_A達到最大，v_A=-4m/s
則 v_B=2m/s
即物體B運動的最大速度為2m/s，
（2）設A、B的位移大小分別為x_A、x_B，瞬時速度的大小分別為v′_A、v′_B
由于系統動量守恒，則在任何時刻有：m_Av′_A-m_Bv′_B=0
則在極短的時間△t內有：m_Av′_A△t-m_Bv′_B△t=0
  m_Av′_A△t=m_Bv′_B△t
累加求和得：m_A∑v′_A△t=m_B∑v′_B△t
  m_Ax_A=m_Bx_B
  x_B=

mA

mB

，x_A=

1

2

x_A
依題意：x_A+x_B=L₁-L
解得：x_B=0.1m                                                 
（3）因水平方向系統不受外力，故系統動量守恒，因此，不論A、C兩物體何時何處相碰，三物體速度相同時的速度是一個定值，總動能也是一個定值，且三個物體速度相同時具有最大彈性勢能．
設三個物體速度相同時的速度為v_共，
依據動量守恒定律有：m_Cv_C=（m_A+m_B+m_C）v_共，
解得：v_共=1m/s
當A在運動過程中速度為4m/s，且與C同向時，跟C相碰，A、C相碰后速度v₁=v_A=v_C，設此過程中具有的最大彈性勢能為E₁，
由能量守恒得：E₁=

1

2

（m_A+m_C）v₁²+

1

2

m_B

v

2 B

-

1

2

（m_A+m_B+m_C）

v

2 共

=1.8J
當A在運動過程中速度為-4m/s時，跟C相碰，設A、C相碰后速度為v₂，由動量守恒：
m_Cv_C-m_Av_A=（m_A+m_C）v₂，
解得：v₂=0
設此過程中具有的最大彈性勢能設為E₂
由能量守恒：E₂=

1

2

（m_A+m_C）v₂²+

1

2

m_Bv_B²-

1

2

（m_A+m_B+m_C）v_共²=0.2J
由上可得：彈簧具有的最大彈性勢能E_pm的可能值的范圍：0.2J≤E_pm＜1.8J．
答：（1）物體B運動速度的最大值為2m/s；
（2）從細線燒斷到彈簧第一次伸長到L₁=0.4m時，物體B運動的位移大小為0.1m；
（3）在以后的運動過程中，彈簧可能具有的最大彈性勢能的取值范圍為0.2J≤E_pm＜1.8J．

點評：本題關鍵要分析清楚物體運動過程，把握隱含的臨界條件，正確應用動量守恒定律、能量守恒定律即可正確解題．