Question

如圖所示．在同一豎直平面內，一輕質彈簧靜止放于光滑斜面上，其一端固定，另一端恰好與水平線AB平齊；長為L的輕質細線一端固定在O點，另一端系一質量為m的小球，將細線拉至水平，此時小球在位置C．現由靜止釋放小球，小球到達最低點D時，細線恰好被拉斷，D點與AB相距h；之后小球在運動過程中恰好與彈簧接觸并沿斜面方向壓縮彈簧，彈簧最大壓縮量為x．試求：
（1）斜面的傾角θ  
（2）彈簧所獲得的最大的彈性勢能E_P．

Answer 1

分析：（1）C到D過程，小球的機械能守恒，可求出小球到D點時的速度．細繩在D點被拉斷后小球做平拋運動，由題意，小球在運動過程中恰好沿斜面方向將彈簧壓縮，速度沿斜面向下方向．由平拋運動知識求出小球到達D時豎直方向的分速度，由tanθ=

vy

vD

求出斜面的傾角．
（2）當彈簧的壓縮量最大時彈簧所獲得的最大彈性勢能，根據系統的機械能守恒求解．

解答：解：（ 1）小球從C到D，機械能守恒，則得：mgL=

1

2

?mv_D²
得v_D=

2gL

      
繩斷后，小球從D到A做平拋運動：h=

1

2

gt²，得t=

2h g

   
豎直分速度 v_y=

2gh

斜面的傾角θ有：tanθ=

vy

vD

=

h L

    所以θ=arctan

h L

（2）小球從C經D，A到彈簧壓縮最大間，小球與彈簧的總機械能守恒，小球減少的重力勢能全轉化為彈簧所儲存的彈性勢能E_P=mg（L+h+xsinθ）   
其中sinθ=

h h+L

所以 E_P=mg（x

h h+L

+h+L）
答：
（1）斜面的傾角θ為arctan

h L

．
（2）彈簧所獲得的最大的彈性勢能E_P是mg（x

h h+L

+h+L）．

點評：本題是圓周運動、平拋運動、機械能守恒的綜合，情景簡單，應按程序進行分析和求解．