Question

（18分）在豎直平面內建立一平面直角坐標系xoy，x軸沿水平方向，如圖甲所示。第一象限內有豎直向上的勻強電場，第二象限內有一水平向右的勻強電場。某種發射裝置（未畫出）豎直向上發射出一個質量為m、電荷量為q的帶正電粒子（可視為質點），該粒子以v₀的初速度從x軸上的A點進入第二象限，并從y軸上的C點沿水平方向進入第一象限后能夠沿水平方向運動到D點。已知OA、OC距離相等，CD的距離為OC，E點在D點正下方，位于x軸上，重力加速度為g。則：

（1）求粒子在C點的速度大小以及OC之間的距離；
（2）若第一象限同時存在按如圖乙所示規律變化的磁場，磁場方向垂直紙面，（以垂直紙面向外的磁場方向為正方向，圖中B₀，T₀均為未知量），并且在時刻粒子由C點進入第一象限，且恰好也能通過同一水平線上的D點，速度方向仍然水平。若粒子在第一象限中運動的周期與磁場變化周期相同，求交變磁場變化的周期；
（3）若第一象限仍同時存在按如圖乙所示規律變化的磁場（以垂直紙面向外的磁場方向為正方向，圖中B₀，T₀均為未知量），調整圖乙中磁場變化的周期，讓粒子在t=0時刻由C點進入第一象限，且恰能通過E點，求交變磁場的磁感應強度B₀應滿足的條件。

Answer 1

（1）    （2）（3）

試題分析：（1）粒子拋出后，豎直方向受重力作用，勻減速直線運動，加速度，到達C點時只有水平速度，豎直速度等于0，因此有
,水平方向受到電場力作用為初速度0的勻加速直線運動，
整理得 即粒子在C點的速度大小為
對豎直方向的勻減速直線運動有
解得
（2）在第一象限沒有磁場存在時，粒子能沿水平線運動，說明
加上磁場后粒子將在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，
由于磁場周期性變化，所以粒子運動軌跡也是周期性變化，時刻進入磁場開始圓周運動，要回到同一水平線上的D點，運動軌跡如下圖所示

洛倫茲力提供向心力，CD的長度
根據幾何關系
即得磁感應強度
粒子做圓周運動的周期
有運動軌跡判斷磁場變化的周期
（3）粒子在t=0時刻由C點進入第一象限，且恰能通過E點，運動軌跡如下圖所示。有幾何關系得

則每經過磁場的半個周期，粒子轉過的圓心角，對應的弦長剛好等于圓周運動的半徑R。

洛倫茲力提供向心力
整理得