Question

【題目】細管AB內壁光滑、厚度不計，加工成如圖所示形狀，長L＝0.8 m的BD段固定在豎直平面內，其B端與半徑R＝0.4 m的光滑圓弧軌道BP平滑連接，CD段是半徑R＝0.4 m的圓弧，AC段在水平面上，管中有兩個可視為質點的小球a、b，ma＝6 m，mb＝2 m。開始b球靜止，a球以速度v0向右運動，與b球發生彈性碰撞之后，b球能夠通過軌道最高點P，a球則滑回AC段從細管的A點滑出。求：（重力加速度取10 m/s2，）

(1)若v0＝4 m/s，碰后a、b球的速度大小；

(2)若v0未知，碰后a球的最大速度；

(3)若v0未知，v0的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）若v0=4m/s，碰后a球的速度為2m/s，b球的速度為6m/s；（2）若v0未知，碰后a球的最大速度4.9m/s；（3）若v0未知，v0的取值范圍為4m/sv≤9.8m/s

【解析】

（1）根據題目中a球以速度v0向右運動，與b球發生彈性碰撞之后，b球能夠通過軌道最高點P，a球則滑回AC段從細管的A點滑出可知，a、b碰撞過程中動量和機械能都守恒，分別用動量守恒和機械能守恒列式求解即可。

（2）要想讓a球能滑出A，則a球與b球碰撞后，a球不能超過B點，否則a球會進入半圓形軌道，就不會滑回AC段從細管的A點滑出，a球碰撞后直至B的過程中，根據機械能守恒，應用機械能守恒定律可求出碰后a球的最大速度。

（3）要使b球能順利經過最高點，則在最高點時的速度v，由此可應用機械能守恒求出b球碰撞后的最小速度，從而求出a球碰撞前的最小速度；碰后a上升的高度不能超過（L+R），否則a球就不會返回經過A，結合第二問可求出a球的最大速度。

（1）a、b碰撞過程中，以a、b組成的系統為研究對象，經受力分析知系統動量守恒，選向右的方向為正，設a、b碰后瞬間速度為va1、vb1，由動量守恒得：

mav0=mava1+mbvb1

因a、b的碰撞是彈性碰撞，所以碰撞過程中機械能守恒有：

ma=ma+mb

聯立解得：碰后a的速度va1=v0=2m/s，碰后b的速度vb1=v0=6m/s

（2）因a球能滑出A，故a與b碰后，a上升的高度不能超過B點，即上升的高度不會超過L+R．設碰撞后a的最大速度為va1max，a球上升的過程中機械能守恒有：

mava1max2=mag(L+R)

解得碰后a球的最大速度：va1max==m/s=4.9m/s

（3）欲使b能通過最高點，設b球與a碰撞后的速度為vb1，經過最高點時的速度為vb2，則有：

在最高點P，對b有：mbgmb

解得：vb2=2m/s

b球在上升至最高點P的過程中，只有重力做功，機械能守恒有：

mbvb12=mbvb22+mbg(L+2R)

解得：vb16m/s

由（1）中知：vb1=v0

v0的最小值：v0minvb1=4m/s

由（2）知碰后a球的最大速度：va1max=4.9m/s

由（1）知：va1=v0

v0的最大值：v0max=vb1max=9.8m/s

綜上可得v0的取值范圍：4m/sv09.8m/s

答案為：（1）若v0=4m/s，碰后a球的速度為2m/s，b球的速度為6m/s

（2）若v0未知，碰后a球的最大速度4.9m/s

（3）若v0未知，v0的取值范圍為4m/sv≤9.8m/s