Question

【題目】如圖所示，相距為L的兩條足夠長的平行金屬導軌，與水平面的夾角為θ，金屬導軌電阻不計。導軌上有質量為m、電阻為R的兩根相同的導體棒，導體棒MN上方軌道粗糙、導體棒MN所在位置及下方軌道光滑，整個空間存在垂直于導軌平面的勻強磁場，磁感應強度為B.將兩根導體棒同時釋放后，觀察到導體棒MN下滑而EF保持靜止，當MN下滑x距離后恰好達到最大速度時，EF與軌道間的摩擦力也剛好達到最大靜摩擦力。求：

（1）導體棒MN的最大速度及EF所受最大靜摩擦力各是多少；

（2）如果導體棒MN從靜止釋放沿導軌下滑x距離后恰好達到最大速度，這一過程回路中通過導體棒MN橫截面的電荷量及導體棒MN產生的電熱是多少。

Answer 1

【答案】（1）v= ；2mgsin θ．

（2） ,Q=mgxsin θ－

【解析】

根據“當MN下滑x距離后恰好達到最大速度時，EF與軌道間的摩擦力也剛好達到最大靜摩擦力。”“回路中通過導體棒MN橫截面的電荷量及導體棒MN產生的電熱是多少。”可知，本題考查電磁感應金屬棒在斜面上切割磁感線運動的收尾速度和能量轉化問題，根據速度最大時兩金屬棒受力平衡，利用平均電流求電量，能量轉化與守恒分別列方程，求解即可。

（1）由題意可知，導體棒MN切割磁感線，產生的感應電動勢為E＝BLv，回路中的電流I＝，MN受到的安培力F＝BIL＝，

故MN沿斜面做加速度減小的加速運動，

當MN受到的安培力大小等于其重力沿軌道方向的分力時，速度達到最大值，此后MN做勻速運動．

故導體棒MN受到的最大安培力為mgsin θ，導體棒MN的最大速度為v=

由于當MN下滑速度最大時，EF與軌道間的摩擦力剛好達到最大靜摩擦力，由力的平衡知識可知EF與軌道之間的最大靜摩擦力為2mgsin θ.

（2）這一過程回路中通過導體棒MN橫截面的電荷量q=Δt =

設這一過程回路中導體棒MN產生的電熱是Q，由能量守恒定律有

mgsinθ·x＝mv2＋2Q

解得Q=mgxsinθ－