Question

【題目】將一傾角為、上表面光滑的斜面體固定在水平地面上，一勁度系數為k的輕彈簧的上端固定在斜面上，下端與質量為m的小滑塊連接且彈簧與斜面平行，如圖所示。用外力控制小滑塊使彈簧處于原長，某時刻撤去外力，小滑塊從靜止開始自由運動。已知：斜面足夠長，重力加速度為g。

（1）求：小滑塊運動到平衡位置時的加速度大�。�

（2）若小滑塊在斜面上振動的周期為T，沿斜面向下運動經過平衡位置時開始計時，請寫出小滑塊振動過程中位移x隨時間t變化的函數關系式；

（3）愛鉆研的小明同學思考能否將重力勢能和彈性勢能這兩個勢能等效地看成一個勢能。試幫助小明論述是否可以引進“等效勢能”。若可以，以小滑塊運動的平衡位置為坐標原點O，平行斜面向上建立一維坐標系Ox，求出“等效勢能”的表達式（規定坐標原點為“等效勢能”的零點）；若不可以，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1)(2)(3)

【解析】

（1）小滑塊的回復力由重力分力與彈簧彈力的合力提供。在平衡位置時，回復力為零，有

得小物塊加速度：

（2）假設在運動過程中任意時刻小滑塊相對平衡位置的位移為x，如下圖所示。

則小滑塊受到的回復力為

聯立以上方程得

并且回復力方向與位移x方向相反，故物體做簡諧運動

所以位移x隨時間t變化的函數關系式為

（3）可以引入，因為重力和彈簧彈力合力做功和路徑無關。由（2）可見：力F與位置坐標的函數關系為：，作出圖象如下圖所示：

由圖象的物理意義可知：小滑塊從O點運動到任意點x的過程中，力F做負功，且做功的數值等于圖中帶陰影三角形的面積，即：

設“等效勢能”為Ep，由功能關系得:

由于規定坐標原點為“等效勢能”的零點，即

由以上方程得：