Question

如圖所示，光滑的圓弧軌道AB、EF，半徑AO、O′F均為R且水平。質量為m、長度也為R的小車靜止在光滑水平面CD上，小車上表面與軌道AB、EF的末端B、E相切。一質量為m的物體（可視為質點）從軌道AB的A點由靜止開始下滑，由末端B滑上小車，小車立即向右運動。當小車右端與壁DE剛接觸時，物體m恰好滑動到小車右端且相對于小車靜止，同時小車與壁DE相碰后立即停止運動但不粘連，物體繼續運動滑上圓弧軌道EF，以后又滑下來沖上小車。求：

（1）水平面CD的長度；
（2）物體m滑上軌道EF的最高點相對于E點的高度h；
（3）當物體再從軌道EF滑下并滑上小車后，小車立即向左運動。如果小車與壁BC相碰后速度也立即變為零，最后物體m停在小車上的Q點，則Q點距小車右端多遠？

Answer 1

（1）     （2）       （3）

（1）設物體從A滑至B點時速度為v₀，根據機械能守恒，有
                                                                                                                 1分
設小車與壁DE剛接觸時物體及小車達到的共同速度為v₁，根據動量守恒定律，有
mv₀=2mv₁                                                                                                                         1分
設二者之間摩擦力為f，則
對物體：                                                                         2分
對小車：                                                                                   2分
解得：                                                                                                          1分
（2）車與ED相碰后，物體以速度v₁沖上EF，則
，解得：                                                                                  2分
（3）由第（1）問可求得：，                                       2分
物體從軌道EF滑下并再次滑上小車后，設它們再次達到共同速度為v₂，物體相對車滑行距離s₁，則mv₁=2mv₂                                      2分
，解得：                                                           2分
，說明在車與BC相碰之前，車與物體達到相對靜止，以后一起勻速運動直到小車與壁BC相碰。車停止后物體將做勻減速運動，設相對車滑行距離s₂，則
，解得：                                                                                2分
所以物體最后距車右端                                                           2分