Question

如圖所示，有位于豎直平面上的半徑為R的圓形光滑絕緣軌道，其上半部分處于豎直向下、場強為E=

mg

q

的勻強電場中，下半部分處于水平向里的勻強磁場中；質量為m，帶正電為q的小球，從軌道的水平直徑的M端由靜止釋放，若小球在某一次通過最低點時對軌道的壓力為零，求：
（1）磁感強度B的大小；
（2）小球第二次通過軌道最低點時對軌道的壓力；
（3）若小球恰好能在圓形軌道內作完整的圓周運動，則小球在軌道最高點的速度大小為多少？小球從M出發時的豎直向下的速度大小是多少？

Answer 1

分析：（1）小球在通過最低點時對軌道的壓力為零，由此可知，在最低點時洛倫茲力和重力的合力恰好作為圓周運動的向心力，根據向心力的公式即可以求得磁感應強度B的大小；
（2）當小球反向運動時，小球受到的洛倫茲力的反向反向，在最低點時對小球受力分析，由向心力的公式可以求得小球對軌道最低點的最大壓力；
（3）在最高點時，小球的重力和電場力作為圓周運動的向心力的大小，從M點到最高點的過程中，根據動能定理可以求得小球從軌道的水平直徑的M端下滑的最小速度．

解答：解：（1）設小球向右通過最低點時的速率為v，由題意得：
mgR=

1

2

mv²…①
qBv-mg=m

v2

R

…②
B=

3mg

q 2gR

…③
（2）小球向左通過最低點時對軌道的壓力最大．
F_N-mg-qBv=m

v2

R

…④
F_N=6mg…⑤
（3）要小球完成圓周運動的條件是在最高點滿足：
mg+qE=m

v12

R

…⑥
得：v₁=

(mg+qE)R m

=

2gR

從M點到最高點由動能定理得：
-mgR-qER=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀²…⑦
由以上可得v₀=

3R(mg+qE) m

=

6gR

…⑧
答案：（1）磁感應強度B的大小為

3mg

q 2gR

，
（2）小球對軌道最低點的最大壓力為6mg，
（3）小球在軌道最高點的速度大小為

2gR

，小球從軌道的水平直徑的M端下滑的速度為

6gR

．

點評：本題考查帶電粒子在勻強磁場中的運動，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運動軌跡后，幾何關系就比較明顯了．