Question

【題目】均質(zhì)桿長(zhǎng)為，豎直地放在桌面邊緣上，點(diǎn)與桌面的邊緣接觸．給一微小擾動(dòng)，桿將繞點(diǎn)向外轉(zhuǎn)動(dòng)．當(dāng)桿受到桌子的反力為零時(shí)，桿將離開(kāi)桌子，試求：

（1）當(dāng)桿離開(kāi)桌子時(shí)，桿轉(zhuǎn)過(guò)的角度，并求此時(shí)桿的角速度？

（2）如果桿垂直地打擊地面，則桌子的高度應(yīng)為多少？

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

桿的受力分析如圖所示．

（1）取桿為研究對(duì)象，在桿未離開(kāi)桌子時(shí)，可以將桿的運(yùn)動(dòng)看作繞的轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理，有

． ①

由于繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，有，將其代入式①中，可解得．

質(zhì)心的法向加速度為．

根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有

，， ②

解之得．

當(dāng)桿離開(kāi)桌面時(shí)有，即，即．

故桿離開(kāi)桌子時(shí)，桿轉(zhuǎn)過(guò)的角度為．

此時(shí)，桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為

（2）當(dāng)桿脫離桌子時(shí)，僅受重力作用，桿作平面運(yùn)動(dòng)，如圖所示．

根據(jù)桿對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，即，可得，因此桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度不變．桿質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的速度為，于是有

，．

要使桿垂直地打擊地面，其轉(zhuǎn)過(guò)的角度應(yīng)滿足，，2，3，…．

因此，桿在離開(kāi)桌子到打擊地面所運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

桿質(zhì)心在鉛直方向的位移為

于是，桌子的高度應(yīng)滿足