Question

甲、乙、丙三個物體用不可伸長的輕線通過輕滑輪連接，甲與地面用輕彈簧連接，如圖所示．物體乙與物塊丙之間的距離和物體丙到地面的距離相等．已知物體乙與物塊丙的質量均為m，物體甲的質量大于m，但是小于2m；彈簧的勁度系數為k．物體在運動過程中不會與滑輪相碰，且不計一切阻力，物體碰地后不反彈．
（1）若將乙與丙間的線剪斷，甲下降多大距離時它的速度最大？
（2）若將彈簧剪斷后，要保證物塊乙在運動過程中不會著地，求這種情形之下甲物體的質量等于多少？

Answer 1

分析：（1）當剪斷輕線，甲向下先做加速運動后做減速運動，加速度為零時速度達到最大，根據胡克定律求出開始時彈簧的伸長量和速度最大時壓縮量，兩者之和等于甲下降的高度；
（2）將彈簧剪斷后，系統的機械能守恒．對于甲乙丙三物體組成系統，由機械能守恒求出丙著地時甲乙的速度；若乙恰能著地，此時甲、乙物體速度為零，根據系統的機械能守恒求解甲的質量．

解答：解：（1）設甲物體質量為M，開始時彈簧處于伸長狀態，其伸長量x₁
  k x₁=（2m-M）g
得，x₁=

2m-M

k

g       
剪斷輕線，甲的加速度為零時，速度達最大
設此時彈簧壓縮量x₂
k x₂=（ M-m）g 
得，x₂=

M-m

k

g   
所以，甲速度最大時，下降的距離x=x₁+x₂=

mg

k

（2）設丙距離地面為L，丙剛好落地時，甲、乙的速度為v
對于甲乙丙三物體組成系統，機械能守恒
  2mgL-MgL=

1

2

(M+2m)v2
若乙恰能著地，此時甲、乙物體速度為零
對甲乙兩物體組成系統，其機械能守恒
有：MgL-mgL=

1

2

(M+m)v2
由上兩式得：M=

2

m
∴當2m＞M＞

2

m時，乙物體將不會著地．
答：（1）若將乙與丙間的線剪斷，甲下降

mg

k

距離時它的速度最大；
（2）若將彈簧剪斷后，要保證物塊乙在運動過程中不會著地，求這種情形之下甲物體的質量應滿足：2m＞M＞

2

m．

點評：第1題關鍵要根據胡克定律研究出甲下降的高度與彈簧形變量的關系．第2題，要分兩個過程研究甲的質量．