Question

在某星球上，宇航員用彈簧測力計提著質量為m的物體以加速度a豎直上升的過程中，測力計的示數為F；若宇宙飛船在靠近該星球表面做勻速圓周運動而成為該星球的一顆衛星時，測得其環繞周期為T，請你依據上述數據，試求：
（1）該星球表面的重力加速度g′；
（2）該星球質量M的表達式．（引力常量為G）

Answer 1

（1）物體m加速上升的過程中，根據牛頓第二定律得：F-mg'=ma
則 g′=

F-Ma

m

=

F

m

-a
（2）設星球的半徑為R，在該星球表面有：mg′≈G

Mm

R2

把（1）中求出的g′代入，求得星球的半徑為：R=

G?M?m F-ma

設宇宙飛船的質量為m'，則環繞星球表面做勻速圓周運動的近地衛星有F_引=F_向
即G

Mm′

R2

=m′(

2π

T

)2R
得：M=

4π2R3

GT2

=

4π2( GMm F-ma )3

GT2

該星球質量M的表達式：M=

(F-ma)3?T4

16?G?m3?π4

答：
（1）該星球表面的重力加速度g'為

F

m

-a；
（2）該星球質量M的表達式為M=

(F-ma)3?T4

16?G?m3?π4

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