Question

如圖所示，質量為M=400g的鐵板固定在一根輕彈簧上方，鐵板的上表面保持水平。彈簧的下端固定在水平面上，系統處于靜止狀態。在鐵板中心的正上方有一個質量為m=100g的木塊，從離鐵板上表面高h=80cm處自由下落。木塊撞到鐵板上以后不再離開，兩者一起開始做簡諧運動。木塊撞到鐵板上以后，共同下降了l₁=2.0cm時刻，它們的共同速度第一次達到最大值。又繼續下降了l₂=8.0cm后，它們的共同速度第一次減小為零。空氣阻力忽略不計，重力加速度取g=10m/s²。求：

⑴ 若彈簧的彈力跟彈簧的形變量成正比，比例系數叫做彈簧的勁度，用k表示．求本題中彈簧的勁度k；
⑵ 從木塊和鐵板共同開始向下運動到它們的共同速度第一次減小到零的過程中，彈簧的彈性勢能增加了多少？
⑶在振動過程中，鐵板對木塊的彈力的最小值N是多少？

Answer 1

⑴ 50N/m ⑵  0.66J ⑶ 0.2N

試題分析：⑴M靜止時，設彈簧壓縮量為l₀，則Mg＝kl₀        ①
速度最大時，M、m組成的系統加速度為零，則（M＋m）g－k（l₀＋l₁）＝0  ②
解①②得：l₀＝8cm，k＝50N/m
［或：因M初位置和速度最大時都是平衡狀態，故mg＝kl₁
解得：k＝50N/m
⑵m下落h過程中，mgh＝mv₀²     ③
m沖擊M過程中， m v₀＝（M＋m）v     ④
所求過程的彈性勢能的增加量：ΔE＝（M＋m）g（l₁＋l₂）＋（M＋m）v²   ⑤
解③④⑤得：ΔE＝0.66J
⑶ 在最低點，M、m組成的系統：k（l₀＋l₁＋l₂）－（M＋m）g＝（M＋m）a₁   ⑥
在最高點，對m：mg－N＝m a₂   ⑦
根據這種運動的對稱性可知：a₁＝a₂   ⑧
解得：a₁＝a₂＝8m/s²，N＝0.2N