Question

（14分）如圖所示，AB為傾角θ＝37°的斜面軌道，軌道的AC部分光滑，CB部分粗糙。BP為圓心角等于143°，半徑R=1m的豎直光滑圓弧形軌道，兩軌道相切于B點，P、0兩點在同一豎直線上，輕彈簧一端固定在A點,另一自由端在斜面上C點處，現有一質量m = 2kg的物塊在外力作用下將彈簧緩慢壓縮到D點后（不栓接）釋放，物塊經過C點后，從C點運動到B點過程中的位移與時間的關系為（式中x單位是m , t單位是s），假設物塊笫一次經過B點后恰能到達P點，（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)，g取1Om/s²。

試求：（1） 若CD=1m，試求物塊從D點運動到C點的過程中，彈簧對物塊所做的功；
（2） B、C兩點間的距離x
（3） 若在P處安裝一個豎直彈性擋板，小物塊與擋板碰撞時間極短且無機械能損失，小物塊與彈簧相互作用不損失機械能，試通過計算判斷物塊在第一次與擋板碰撞后的運動過程中是否會脫離軌道？

Answer 1

(1)156J  (2)  (3)不會

試題分析：（1）由，知，物塊在C點速度為
設物塊從D點運動到C點的過程中，彈簧對物塊所做的功為W，由動能定理得：
代入數據得：    （5分）
（2）由知，物塊從C運動到B過程中的加速度大小為
設物塊與斜面間的動摩擦因數為，由牛頓第二定律得
 代入數據解得
物塊在P點的速度滿足
物塊從B運動到P的過程中機械能守恒，則有 
物塊從C運動到B的過程中有 
由以上各式解得      （5分）
（3）假設物塊第一次從圓弧軌道返回并與彈簧相互作用后，能夠回到與O點等高的位置Q點，且設其速度為，由動能定理得
解得
可見物塊返回后不能到達Q點，故物塊在以后的運動過程中不會脫離軌道。    （4分）