Question

【題目】如圖所示，以O為圓心、半徑為R的圓形區域內存在垂直圓面向里、磁感應強度為B的勻強磁場，一粒子源位于圓周上的M點，可向磁場區域內垂直磁場沿各個方向發射質量為m、電荷量為q的粒子，不計粒子重力，N為圓周上另一點，半徑OM和ON間的夾角θ，且滿足．

（1）若某一粒子以速率v1，沿MO方向射入磁場，恰能從N點離開磁場，求此粒子的速率移v1；

（2）若某一粒子以速率v2，沿與M成600角斜向上方向射入磁場，求此粒子在磁場中運動的時間；

（3）若大量此類粒子以速率v3，從M點射入磁場，方向任意，則這些粒子在磁場中運動的最長時間為多少？

（4）若由M點射入磁場各個方向的所有粒子速率均為題（1）中計算出的v1，求磁場中有粒子通過的區域面積．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）（4）

【解析】試題分析：（1）某一粒子以速率，沿MO方向射入磁場，恰能從N點離開磁場，由幾何關系求得其做勻速圓周運動的半徑，由洛侖茲力提供向心力求出入射速度．（2）某一粒子以速率，沿與MO成角斜向上方向射入磁場，由半徑公式知，該粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑等于磁場區域的半徑，由幾何關系知道，該粒子的軌跡和偏轉角均能求出，從而求出該粒子運動的時間．（3）首先做出軌跡圖，利用幾何關系判斷出當弦長為多少時運動時間最長，從而可以計算出粒子在磁場中運行的最長時間；（4）若由M點射人磁場各個方向的所有粒子速率均為，這些粒子在磁場中有相同的半徑，則圓心軌跡是以M為圓心、半徑為的圓．試著畫出極端情況下粒子能達到的區域，從而把粒子能到達的整個區域面積求出來．

（1）粒子以速率沿MO方向射入磁場，在磁場中做勻速圓周運動，恰好從N點離開磁場，其運動軌跡如圖

設粒子軌跡半徑為，由幾何關系得：

由牛頓第二定律得：

解得：粒子的速度為

（2）粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力， 設軌跡半徑為

由牛頓第二定律得： 解得：

粒子沿與與MO成方向進入磁場，設粒子從區域邊界P射出，其運動軌跡如圖所示

由圖中幾何關系可知粒子軌跡所對應的圓心角為

粒子運動周期： ，則粒子在磁場中的運動的時間：

（3）由牛頓第二定律得： 解得：

故以M所在直徑為弦長的圓弧對應運動時間最長，如圖所示

由幾何關系得： ，則

故運動的最長時間為

（4）粒子沿各個方向以進入磁場做勻速圓周時的軌跡半徑都為，且不變，如圖所示

由圖可知，粒子在磁場中 通過的面積S等于以為圓心的扇形的面積、以M為圓心的扇形MOQ的面積和以O點為圓心的圓弧MQ與直線MQ圍成的面積之和．

則有： ， ，

所以：