Question

（1）如圖6-15，在光滑水平長直軌道上，放著一個靜止的彈簧振子，它由一輕彈簧兩端各連接一個小球構成，兩小球質量相等.現突然給左端小球一個向右的速度u₀，求彈簧第一次恢復到自然長度時，每個小球的速度.
（2）如圖6-16，將N個這樣的振子放在該軌道上，最左邊的振子1被壓縮至彈簧為某一長度后鎖定，靜止在適當位置上，這時它的彈性勢能為E₀.其余各振子間都有一定的距離，現解除對振子1的鎖定，任其自由運動，當它第一次恢復到自然長度時，剛好與振子2碰撞，此后，繼續發生一系列碰撞，每個振子被碰后剛好都是在彈簧第一次恢復到自然長度時與下一個振子相碰.求所有可能的碰撞都發生后，每個振子彈性勢能的最大值.已知本題中兩球發生碰撞時，速度交換，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度.

圖6-15

圖6-16

Answer 1

(1)u₁=0,u₂=u₀  (2)E_N=E₀

（1）設每個小球質量為m，以u₁、u₂分別表示彈簧恢復到自然長度時左右兩端小球的速度,由動量守恒和能量守恒定律有
mu₁+mu₂=mu₀（以向右為速度正方向）
mu₁²+mu₂²=mu₀²
解得u₁=u₀,u₂=0或u₁=0,u₂=u₀
由于振子從初始狀態到彈簧恢復到自然長度的過程中，彈簧一直是壓縮狀態，彈力使左端小球持續減速，使右端小球持續加速，因此應該取解析u₁=0,u₂=u₀.
（2）以v₁、v₁′分別表示振子1解除鎖定后彈簧恢復到自然長度時左右兩小球的速度，規定向右為速度的正方向，由動量守恒和能量守恒定律
mv₁+mv₁′=0
mv₁²+mv₁′²=E₀
解得v₁=,v₁′=-或v₁=-,v₁′=.
在這一過程中，彈簧一直是壓縮狀態，彈性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故應取解析
v₁=-,v₁′=
振子1與振子2碰撞后，由于交換速度，振子1右端小球速度變為0，左端小球速度仍為v₁.此后兩小球都向左運動，當它們向左的速度相同時，彈簧被拉伸至最長，彈性勢能最大，設此速度為v₁₀，根據動量守恒定律：
2mv₁₀=mv₁
用E₁表示最大彈性勢能，由能量守恒有
mv₁₀²+mv₁₀²+E₁=mv₁²
解得E₁=E₀
振子2被碰撞后瞬間，左端小球速度為，右端小球速度為0.以后彈簧被壓縮，當彈簧再恢復到自然長度時，根據（1）題結果，左端小球速度v₂=0，右端小球速度v₂′=，與振子3碰撞，由于交換速度，振子2右端小球速度變為0，振子2靜止，彈簧為自然長度，彈性勢能為E₂=0.
同樣分析可得
E₂=E₃=…=E_N-1=0
振子N被碰撞后瞬間，左端小球速度v_N-1′=，右端小球速度為0，彈簧處于自然長度.此后兩小球都向右運動，彈簧被壓縮，當它們向右的速度相同時，彈簧被壓縮至最短，彈性勢能最大.設此速度為v_N0，根據動量守恒定律，
2mv_N0=mv_N-1′
用E_N表示最大彈性勢能，根據能量守恒，有
mv_N0²+mv_N0²+E_N=mv_N-1²
解得E_N=E₀.