Question

如圖5-2-11所示，一塊足夠長的木板，放在光滑的水平面上，在木板上自左向右放著序號(hào)是1、2、3、…n的木塊，所有木塊的質(zhì)量均為m，與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)都相同.開始時(shí)，木板靜止不動(dòng)，第 1、2、3、…n號(hào)木塊的初速度分別是v₀、2v₀、3v₀、…nv₀，方向都向右，木板的質(zhì)量與所有的木塊的總質(zhì)量相同，最終所有木塊與木板以共同的速度勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)木塊之間均無相互碰撞，木板足夠長，求：

圖5-2-11
（1）所有木塊與木板一起勻速運(yùn)動(dòng)的速度v_n；
（2）第1號(hào)木塊與木板剛好相對(duì)靜止時(shí)的速度v₁；
（3）通過分析與計(jì)算說明第k號(hào)（k<n）木塊的最小速度v_k.

Answer 1

(1)v₀  (2)  (3)v₀

(1)以n塊木塊和木板為研究對(duì)象,在全過程中,該系統(tǒng)動(dòng)量守恒有:m(v₀+2v₀+…+nv₀)=(nm+nm)v_n,解得v_n=v₀.
(2)由于每個(gè)木塊與木板間的滑動(dòng)摩擦力相同,在第1號(hào)木塊由速度v₀減為與木板剛好相對(duì)靜止時(shí)速度v₁過程中,對(duì)木板,其動(dòng)量增量Δp₁=nm·v₁;對(duì)n個(gè)木塊動(dòng)量的增量Δp₂=n［m·(v₁-v₀)］,由n個(gè)木塊與木板構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒,則Δp₁+Δp₂=0,解以上各式得v₁=.
(3)當(dāng)?shù)趉號(hào)木塊與木板相對(duì)靜止時(shí),速度最小為v_k,對(duì)n個(gè)木塊與木板構(gòu)成的系統(tǒng),初始總動(dòng)量p₁=m(v₀+2v₀+…+nv₀),此時(shí)總動(dòng)量p₂=k(mv_k)+nm·v_k+p,式中p為此時(shí)從第k+1個(gè)木塊到第n個(gè)木塊的總動(dòng)量.由于后面(n-k)個(gè)木塊每個(gè)木塊在相同時(shí)間內(nèi)損失的動(dòng)量都相同,且為m(kv₀-v_k),則p=［(k+1)+(k+2)+…+n］mv₀-(n-k)m(kv₀-v_k),根據(jù)系統(tǒng)總動(dòng)量守恒,得p₁=p₂,解以上各式得v_k=v₀.