Question

如圖所示，真空室內存在寬度為d=8cm的勻強磁場區域，磁感應強度B=0.332T，磁場方向垂直于紙面向里；ab、cd足夠長，cd為厚度不計的金箔，金箔右側有一勻強電場區域，電場強度E=3.32×10⁵N/C；方向與金箔成37°角．緊挨邊界ab放一點狀α粒子放射源S，可沿紙面向各個方向均勻放射初速率相同的α粒子，已知：α粒子的質量m=6.64×10^-27kg，電荷量q=+3.2×10^-19C，初速度
v=3.2×10⁶m/s．不計粒子重力（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
求：（1）α粒子在磁場中作圓周運動的軌道半徑R；
（2）金箔cd被α粒子射中區域的長度L；
（3）設打在金箔上d端離cd中心最遠的α粒子，速度方向不變穿出金箔進入電場．在電場中運動通過N點，SN⊥ab且SN=40cm，則此α粒子從金箔上穿出時的速度大小為多少？

Answer 1

分析：（1）α粒子在勻強磁場中由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運動，由牛頓第二定律可求出α粒子在磁場中作圓周運動的軌道半徑R；
（2）畫出α粒子的運動軌跡．α粒子在勻強磁場中，當圓周軌跡與cd相切時向上偏離O最遠，當α粒子沿sb方向射入時，向下偏離O最遠，根據幾何知識求出向上和向下偏轉的最大距離，它們之和即為被α粒子射中區域的長度L；
（3）根據第（2）問的結果，求出α粒子向下打d端時軌跡所對應的圓心角可知，α粒子在電場中做類平拋運動，畫出軌跡，將其運動分解為沿電場方向和垂直于電場方向兩個分運動，由幾何關系求得α粒子通過N點時兩個分位移，由牛頓第二定律和運動學結合即可求出此α粒子從金箔上穿出時的速度大小．

解答：解：（1）α粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
即有  q_αvB=m_α

v2

R

解得 R=

mαv

qαB

=0.2m=20cm
（2）設cd中心為O，向c端偏轉的α粒子，當圓周軌跡與cd相切時偏離O最遠，設切點為P，對應圓心O₁，如圖所示，則由幾何關系得：
 

.

OP

=

.

Sa

=

R2-(R-d)2

=16cm
向d端偏轉的α粒子，當沿sb方向射入時，偏離O最遠，設此時圓周軌跡與cd交于Q點，對應圓心O₂，如圖所示，則由幾何關系得：
 

.

OQ

=

R2-(R-d)2

=16cm
故金箔cd被α粒子射中區域的長度
 L=

.

PQ

=

.

OP

+

.

OQ

=32cm
（3）設從Q點穿出的α粒子的速度為v′，軌跡所對的圓心角為α，則sinα=

. OQ

R

=

16

20

=0.8
得 α=53°
由幾何知識可知，半徑O₂Q∥場強E，則v′⊥E，故穿出的α粒子在電場中做類平拋運動，軌跡如圖所示．
沿速度v′方向做勻速直線運動，
位移為  S_x=（

.

SN

-R）sin53°=16cm
沿場強E方向做勻加速直線運動，
位移為  S_y=（

.

SN

-R）cos53°+R=32cm
則由 S_x=v′t   S_y=

1

2

at2  a=

qαE

mα

得：v′=8×10⁵m/s
答：（1）α粒子在磁場中作圓周運動的軌道半徑R是20cm；
（2）金箔cd被α粒子射中區域的長度L是32cm；
（3）此α粒子從金箔上穿出時的速度大小是8×10⁵m/s．

點評：本題中帶電粒子在勻強磁場中圓周運動時，關鍵是畫出粒子的運動軌跡，由幾何知識求出長度與軌跡半徑的關系．粒子在電場中做類平拋運動，由運動的分解法進行研究．