Question

（2011?自貢模擬）如圖所示，半徑為r圓心為0的虛線所圍的圓形區域內存在垂直紙面向外的勻強磁場，在磁場右側有一豎直放置的平行金屬板M和N，兩板間距離為在MN板中央各有一個小孔0₂、O₃，O₁，O₂，O₃在同一水平直線上，與平行金屬板相接的是兩條豎直放置間距為L的足夠長的光滑金屬導軌，導體棒PQ與導軌接觸良好，與阻值為R的電阻形成閉合回路．（導軌與導體棒的電阻不計），該回路處在磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場中，整個裝置處在真空室中，有一束電荷量為+q、質量為m的粒子流（重力不計），以速率V₀從圓形磁場邊界上的最低點E沿半徑方向射入圓形磁場區域，最后從小孔O₃射出．現釋放導體棒PQ，其下滑h后開始勻速運動，此后粒子恰好不能從O₃射出，而是從圓形磁場的最高點F射出．求：
（1）圓形磁場的磁感應強度大小B′．
（2）導體棒的質量M．
（3）棒下落h的整個過程中，電阻上產生的電熱．
（4）粒子從E點到F點所用的時間．

Answer 1

分析：（1）粒子從E射入圓形磁場區域，從小孔O₃射出，在磁場中做勻速圓周運動，由幾何知識求出半徑，再由牛頓定律求出B．
（2）粒子恰好不能從O₃射出時，到達O₃速度為零．根據動能定理求出此時板間電壓，由平衡條件求出質量M．
（3）能量守恒定律求得電阻上產生的電熱．
（4）根據軌跡，逐段求出時間，再求總時間．

解答：解：（1）粒子由E到O₂過程中作半徑為r的勻速圓周運動，則：
           qvB=m

v 2 0

r

            
          解得B=

mv0

qr

                              
    （2）設PQ棒勻速下滑時棒的速度為v，此時MN板間的電壓為U，由題意有：
            

1

2

m

v

2 0

=qU               
            解得U=

m v 2 0

2q

   
          由力平衡得    Mg=B

U

R

L                    
          解得M=

BLm

2gqR

v

2 0

                           
    （3）U=E=BLv              
         由能量守恒：Mgh=

1

2

Mv²+Q_R                          
        聯立上述方程解得產生的電熱：QR=

BLmh

2qR

v

2 0

-

m3 v 6 0

16gBLRq

           
    （4）粒子在圓形磁場內的運動時間t₁：t₁=2?

T

4

=2?

2πm

qB

=

πr

v0

      粒子在電場中往返運動的時間t₂：由 L=

v0

2

?

t2

2

   得 t2=

4L

v0

          
       故粒子從E點到F點所用的時間：t=t₁+t₂=

πr+4L

v0

點評：本題是粒子在磁場中勻速圓周運動和電磁感應的綜合．磁場中圓周運動常用方法是畫軌跡，由幾何知識求半徑．