Question

（2011?溫州模擬）如圖所示，半徑為r、圓心為O₁的虛線所圍的圓形區域內存在垂直紙面向外的勻強磁場，在磁場右側有一豎直放置的平行金屬板C和D，兩板間距離為L，在MN板中央各有一個小孔O₂、O₃．O₁、O₂、O₃在同一水平直線上，兩根足夠長的直金屬導軌MN、PQ平行放置在傾角為θ的絕緣斜面上，兩導軌間距也為L．M、P兩點間接有阻值為R的電阻．一根質量為M的均勻直金屬桿ab放在兩導軌上，并與導軌垂直，閉合回路（導軌與導體棒的電阻不計）．整套裝置處于勻強磁場中，磁場的磁感應強度為B，磁場方向垂直于斜面向上．整個裝置處在真空室中，有一電荷量為+q、質量為m的粒子（重力不計），以速率v₀從圓形磁場邊界上的最低點E沿半徑方向射入圓形磁場區域，最后從小孔O₃射出．現釋放導體棒ab，其沿著斜面下滑h后開始勻速運動，此時仍然從E點沿半徑方向射入圓形磁場區域的相同粒子恰好不能從O₃射出，而從圓形磁場的最高點F射出．求：
（1）圓形磁場的磁感應強度B′．
（2）導體棒的質量M．
（3）棒下落h的整個過程中，導體棒ab克服安培力做的功為多少？

Answer 1

分析：（1）在圓形磁場中做勻速圓周運動，由幾何關系結合洛侖茲力提供向心力公式求解．
（2）粒子恰好不能從O₃射出的條件是到達O₃速度是零，根據動能定理列出等式．導體棒ab做勻速運動時，根據平衡條件求解．
（3）導體棒勻速運動時，根據法拉第電磁感應定律表示出速度，安培力做功量度其他形式的能量轉化為電能的多少，棒下落h的整個過程中導體棒ab重力勢能減小，轉化成動能和電能．根據能量守恒求解．

解答：解：（1）在圓形磁場中做勻速圓周運動，由幾何關系可以知道半徑為r，
洛侖茲力提供向心力qv₀B=

mv 2 0

r

得B′=

mv0

qr

（2）根據題意粒子恰好不能從O₃射出的條件為

1

2

m

v

2 0

=qU_ab①
導體棒ab做勻速運動時，根據平衡條件得
Mgsinθ=BIL=

BLUab

R

解得M=

BL mv 2 0 2gqRsinθ

           
（3）導體棒勻速運動時，速度大小為v_m，則U_ab=BLv_m
代入①中得：v_m=

mv 2 0

2qBL

       
安培力做功量度其他形式的能量轉化為電能的多少，棒下落h的整個過程中導體棒ab重力勢能減小，轉化成動能和電能．      
由能量守恒得：W_克安=Mghsinθ-

1

2

M

v

2 m

   
解得W_克安=

BLm hv 2 0 sinθ

2qR

-

m3v 6 0

16gBLRq3

答：（1）圓形磁場的磁感應強度是

mv0

qr

．
（2）導體棒的質量是

BL mv 2 0 2gqRsinθ

．
（3）棒下落h的整個過程中，導體棒ab克服安培力做的功為

BLm hv 2 0 sinθ

2qR

-

m3v 6 0

16gBLRq3

．

點評：該題考查了磁場、電路、電磁感應等多個知識點，關鍵在于清楚的分析粒子的運動過程和導體棒ab所處的狀態．
對于應用能量守恒解題時要清楚知道各種形式的能量轉化的方向．