Question

（14分）如圖所示，在傾角θ＝30º的斜面上放置一段凹槽B，B與斜面間的動摩擦因數μ＝，槽內靠近右側壁處有一小物塊A(可視為質點)，它到凹槽左側壁的距離d＝0.10m。A、B的質量都為m=2.0kg，B與斜面間的最大靜摩擦力可認為等于滑動摩擦力，不計A、B之間的摩擦，斜面足夠長。現同時由靜止釋放A、B，經過一段時間，A與B的側壁發生碰撞，碰撞過程不計機械能損失，碰撞時間極短。取g=10m/s²。求：

（1）物塊A和凹槽B的加速度分別是多大；
（2）物塊A與凹槽B的左側壁第一次碰撞后瞬間A、B的速度大小；
（3）從初始位置到物塊A與凹槽B的左側壁發生第三次碰撞時B的位移大小。

Answer 1

（1）5.0m/s²，0；（2）v_A1=0，v_B1="1.0" m/s；（3）1.2m

解析試題分析：（1）設A的加速度為a₁，則
mg sin?=ma₁ ，a₁=" g" sin?????×sin 30°=5.0m/s²          1分
設B受到斜面施加的滑動摩擦力f，則
==10N，方向沿斜面向上    
B所受重力沿斜面的分力=2.0×10×sin30°=10N，方向沿斜面向下
因為，所以B受力平衡，釋放后B保持靜止，則
凹槽B的加速度a₂=0               1分  
（2）釋放A后，A做勻加速運動，設物塊A運動到凹槽B的左內側壁時的速度為v_A0，根據勻變速直線運動規律得
    
v_A0==="1.0m/s"                1分 
因A、B發生彈性碰撞時間極短，沿斜面方向動量守恒，A和B碰撞前后動能守恒，
設A與B碰撞后A的速度為v_A1，B的速度為v_B1，根據題意有
                     1分
                 1分
解得第一次發生碰撞后瞬間A、B的速度分別為
v_A1=0，v_B1="1.0" m/s                 1分
（3）A、B第一次碰撞后，B以v_B1="1.0" m/s做勻速運動，A做初速度為0的勻加速運動，設經過時間t₁，A的速度v_A2與B的速度相等，A與B的左側壁距離達到最大，即
v_A2=，解得t₁=0.20s
設t₁時間內A下滑的距離為x₁，則

解得x₁=0.10m
因為x₁=d， 說明A恰好運動到B的右側壁，而且速度相等，所以A與B的右側壁恰好接觸但沒有發生碰撞。               1分
設A與B第一次碰后到第二次碰時所用時間為t₂， A運動的距離為x_A1，B運動的距離為x_B1，A的速度為v_A3，則
x_A1=，x_B1=v_B1t₂，x_A1= x_B1
解得t₂="0.40s" ，x_B1=0.40m，v_A3=a₁t₂="2.0m/s"                1分
第二次碰撞后，由動量守恒定律和能量守恒定律可解得A、B再次發生速度交換，B以v_A3=2.0m/s速度做勻速直線運動，A以v_B1=1.0m/s的初速度做勻加速運動。
用前面第一次碰撞到第二次碰撞的分析方法可知，在后續的運動過程中，物塊A不會與凹槽B的右側壁碰撞，并且A與B第二次碰撞后，也再經過t₃= 0.40s，A與B發生第三次碰撞。        1分
設A與B在第二次碰后到第三次碰時B運動的位移為x_B2，則
x_B2=v_A3t₃=2.0×0.40=0.80m；
設從初始位置到物塊A與凹槽B的左內側壁發生第三次碰撞時B的位移大小x，則
x= x_B1+ x_B2=0.40+0.80=1.2m                 1分
考點：動量守恒，機械能守恒，勻變速直線運動位移與時間的關系