Question

如圖甲所示，空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B。讓質量為m，電荷量為q（q＞0）的粒子從坐標原點O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到磁場中。不計重力和粒子間的影響。

（1）若粒子以初速度v₁沿y軸正向入射，恰好能經過x軸上的A（a，0）點，求v₁的大小；

（2）已知一粒子的初速度大小為v（v＞v₁），為使該粒子能經過A（a，0）點，其入射角θ（粒子初速度與x軸正向的夾角）有幾個？并求出對應的sinθ值；

（3）如圖乙，若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強電場，一粒子從O點以初速度v₀沿y軸正向發射。研究表明：粒子在xOy平面內做周期性運動，且在任一時刻，粒子速度的x分量v_x與其所在位置的y坐標成正比，比例系數與場強大小E無關。求該粒子運動過程中的最大速度值v_m。

 

Answer 1

【答案】

 ⑴；⑵兩個  sinθ=；⑶＋。

【解析】（1）帶電粒子以初速度v₁沿y軸正方向入射后，在磁場中做勻速圓周運動，剛好轉過半周到達x軸上的A點，設此時的軌道半徑為R₁，有：R₁=a/2                      ①

由洛倫茲力提供粒子做圓周運動的向心力，根據牛頓第二定律有qBv₁=  ②

由①②式聯立解得：v₁=。

（2）帶電粒子以初速度v入射時，在磁場中仍然做勻速圓周運動，設此時軌道為R，對照②式可知：R=                 ③

由于v＞v₁，則R＞R₁=a/2，要使其圓軌跡能經過A點，則θ≠90°，繪出粒子的軌跡圖如圖所示，軌跡圓有兩個，但圓心都落在OA的中垂線上，設做兩個圓周運動的速度入射方向與x軸正方向的夾角分別為θ和θ′，根據圖中幾何關系有：sinθ′=sinθ=       ④

由③④式聯立解得：sinθ=。

（3）粒子在磁場中僅受洛倫茲力和電場力作用，又洛倫茲力始終與速度方向垂直，不做功，因此只有電場力做功，根據題意可知，當粒子運動至＋y方向最遠處時，速度最大為v_m，且沿＋x方向，設＋y方向最遠處的y坐標為y_m，由于v_x與y成正比，設比例系數為k，有：v_m＝ky_m                    ⑤

根據動能定理有：qEy_m＝－                         ⑥

又因比例系數與電場強度E無關，因此若無電場，粒子將以速度v₀做勻速圓周運動，設軌道半徑為R₀，此時在＋y方向最遠處的y坐標為R₀，有：v₀＝kR₀             ⑦

對照②式可知：R₀＝                     ⑧

由⑤⑥⑦⑧式聯立解得：v_m=+

【考點定位】本題主要考查帶電粒子在磁場、復合場中的運動問題，以及分析問題、從題干中提取有用信息的能計算題力問題。難度較大。