Question

【題目】如圖所示，四個半徑為1，且完全相同的均質光滑圓球，將它們擺為上下兩層且彼此相切，下層三個球、、質量均為，放置在光滑水平面上，上層球的質量為下邊三個球質量之和．試

（1）若將下層三個球用一根繩子在球心高度處纏繞，把三個球捆扎在一起，再將第四個球放在上層，問：靜止情況下張力為多大？

（2）若在圖所示的位置突然剪斷繩子，四個球由靜止開始運動，問：上下層球在什么位置處開始脫離？

（3）問：上層球第一次落到桌面時，下層三個球的質心運動后所組成等邊三角形的邊長為多大？

Answer 1

【答案】（1）（2）時上下層球開始脫離（3）

【解析】

設下層球的質量均為，則上層球的質量為．、、、分別為下層球和上層球的球心，為下層球心組成三角形的形心，為與的夾角，如圖所示．

（1）系統靜止時，由幾何關系可知，．

對上層球進行受力分析，如圖所示，列方向平衡方程有

，． ①

圖3

對下層球進行受力分析，如圖所示，列方向平衡方程有

，． ②

聯立式①②，可得系統靜止時繩子拉力為．

（2）開始時上下層球心的連線與水平方向夾角為，剪斷繩子后在位置，設下層球心水平速度為，加速度為，上層球球心下落的速度為，加速度為．

兩球脫離前．

由系統的動能定理，有．

整理可得， ③

由剛體運動學原理，上下層球脫離前，下層任一球與上層球球心的加速度之間有如下關系：

． ④

設上層球與下層三球間的相互作用力為，對上層球分析，由質心運動定理有

． ⑤

對下層任一球進行分析，由質心運動定理有

． ⑥

由式③⑥，可得上下層球相互作用力為

． ⑦

上下層球脫離條件為，由式⑦得．

即當時上下層球開始脫離

（3）上下層球脫離后，上層與下層球球心的距離始終大于2，上下兩層球不再相碰，將代人式③，可以求出脫離時上層球心的速度為

． ⑧

此時，下層球的質心速度為

． ⑨

運動后，下層球心到靜正時下層球心圍成的等邊三角形中心的距離為

． ⑩

上層球心到桌面間的距離為

．

由式⑧，脫離后上層球接觸桌面所需的時間為

．

由式⑨，下層球心在這段時間內又運動距離為

．

由式⑩，當上層球第一次與桌面接觸時，下層三個球的質心所組成的等邊三角形的邊長是