Question

【題目】如圖所示，半徑為r的圓形勻強磁場區域I與x軸相切與坐標系的原點O，磁感應強度為B1，方向垂直于紙面向外，磁場區域I右側有一長方體加速管，加速管底面寬度為2r，軸線與x軸平行且過磁場區域I的圓心，左側的電勢比右側高U．在加速管出口下側距離2r處放置一寬度為2r的熒光屏，加速管右側存在方向垂直于紙面向外的勻強磁場區域II，在O點處有一個粒子源，能沿紙面向y＞0的各個方向均勻地發射大量質量為m、帶電荷量為q且速率相同的粒子，其中沿y軸正方向射入磁場的粒子，恰能沿軸線進入長方形加速管并打在熒光屏的中心位置，（不計粒子重力及其相互作用）

（1）求粒子剛進入加速管時的速度大小；

（2）求磁場區域II的磁感應強度大小B2；

（3）若進入加速管的粒子數目為N，則磁場II的磁感應強度B2減小10%時，有多少離子能打在熒光屏上．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】（1）沿y軸正方向射入磁場的粒子，恰能沿軸線進入長方形加速管并打在熒光屏的中心位置，則磁場區域I內粒子運動軌跡半徑距離為r，在勻強磁場Ⅰ中粒子做圓周運動，洛倫茲力作向心力，則有：B1vq＝，
解得： ；
（2）沿y軸正方向射入磁場的粒子，恰能沿軸線進入長方形加速管，則由動能定理可得粒子進入磁場Ⅱ的速度為v′，有關系式：Uq＝mv′2mv2；
解得： ；
因為粒子在磁場Ⅱ中運動，并打在熒光屏的中心位置，所以，粒子在磁場Ⅱ中做圓周運動的半徑R′=2r，由洛倫茲力作向心力可得：B2v′q＝，所以， ，其中；
（3）在勻強磁場Ⅰ中，設粒子從P點離開磁場，如圖所示，
，
因為粒子做圓周運動的圓心在弦長的垂直平分線上，且磁場區域和圓周運動的半徑都為r，所以，磁場區域的兩條半徑和圓周運動軌跡的兩條半徑構成菱形，所以，在P點的徑向平行于y軸，所以，粒子離開磁場時的速度為水平方向．
若進入加速管的粒子數目為N，則這N個粒子在豎直方向上均勻分布；
在磁場中粒子做勻速圓周運動，洛倫茲力作向心力，有：Bvq＝，
解得： ；
磁場II的磁感應強度B2減小10%時，則粒子在磁場Ⅱ中做圓周運動的半徑為： ，
設粒子進入磁場Ⅱ時，豎直高度為y，則只要：0≤2R″-2r-y≤2r，粒子就可以打在熒光屏上，
所以， r≤y≤r，因為N個粒子在0≤y≤2r上均勻分布，所以打在屏上的粒子數為：