Question

（2013?太原二模）如圖甲所示，在Oxy坐標系中，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關于x軸對稱，極板長度和板間距均為l，緊靠極板的右邊緣的等邊△FGH區域內有勻強磁場，方向垂直于Oxy平面向里，F、H位子y軸上，邊界FG、HG關于x軸對稱．位于極板左側的粒子源沿x軸向右接連發射質量為m、電荷量為+q、速度相同的帶電粒子，現在0～3to時間內兩板間加上如圖乙所示的電壓，已知t=0時刻進入兩板間的粒子恰好在t ₀時刻射入磁場、且恰好不會從邊界HG、FG射出磁場區域，上述l、m、q、t₀為已知量，U₀=

ml2

qt   2 0

，不考慮粒子的重力及粒子間的相互影響，將PQ間電場視為勻強電場，求：
（1）t=0時刻進入兩板間的帶電粒子射入磁場時的速度；
（2）勻強磁場的磁感應強度；
（3）t=t₀時刻進入兩板間的帶電粒子在勻強磁場中運動的時間．

Answer 1

分析：（1）t=0時刻進入電場的粒子t₀時刻剛好射出電場，做類似平拋運動，根據類似平拋運動的分運動公式列式求解即可；
（2）t=0時刻進入兩板間的粒子恰好在t0時刻射入磁場、且恰好不會從邊界HG、FG射出磁場區域；畫出臨界軌跡，然后結合幾何關系求解出半徑；最后根據洛倫茲力提供向心力列式求解出勻強磁場的磁感應強度；
（3）t₀時刻進入極板的帶電粒子在兩個極板間做勻速直線運動，在2t₀時刻沿著x方向進入磁場，進入磁場后做勻速圓周運動；畫出運動軌跡，然后根據t=

θ

2π

×T和T=

2πm

qB

求解時間．

解答：解：（1）t=0時刻進入電場的粒子t₀時刻剛好射出電場
帶電粒子沿著x軸分速度大小為：v₀=

l

t0

y軸負方向偏移距離：y=

1

2

?

qU0

ml

?

t

2 0

=

1

2

l
粒子離開電場沿y軸負方向分速度為v_y，則有：

1

2

l=

vy

2

t0
射入磁場的速度大小vt=

v 2 0 + v 2 y

=

2 l

t0

，與y軸夾角為45°；
（2）設粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為R₁，由幾何關系得：
R1=

2

2

l
qv1B=m

v 2 1

R1

B=

2m

qt0

（3）t₀時刻進入極板的帶電粒子在兩個極板間做勻速直線運動，在2t₀時刻沿著x方向進入磁場，進入磁場后做勻速圓周運動，設半徑為R₂；
R2=

1

2

l
T=

2πR2

v0

=πt0
設△FGH邊長為a，則有：
2R1+

l

2

=asin60°
a=

2 6 + 3

3

t
因為（

a

2

-R2）sin60°＞R₂，粒子不會從PG邊射出磁場，粒子在磁場中運動時間：
t=

T

2

=

πt0

2

答：（1）t=0時刻進入兩板間的帶電粒子射入磁場時的速度為

2 l

t0

，與y軸夾角為45°；
（2）勻強磁場的磁感應強度為

2m

qt0

；
（3）t=t₀時刻進入兩板間的帶電粒子在勻強磁場中運動的時間為

πt0

2

．

點評：本題關鍵明確粒子的運動規律，然后分類似平拋運動和勻速圓周運動過程列式求解，磁場中運動注意畫出臨界軌跡，結合幾何關系求解半徑．