Question

【題目】如圖所示，皮帶傳動裝置與水平面夾角為30°，輪半徑R= m，兩輪軸心相距L=3.75 m，A、B分別使傳送帶與兩輪的切點，輪緣與傳送帶之間不打滑。一個質量為0.1 kg的小物塊與傳送帶間的動摩擦因數為μ=。g取10 m/s2。

（1）當傳送帶沿逆時針方向以v1=3 m/s的速度勻速運動時，將小物塊無初速地放在A點后，它運動至B點需多長時間？（計算中可取≈16，≈20）

（2）小物塊相對于傳送帶運動時，會在傳送帶上留下痕跡。當傳送帶沿逆時針方向勻速運動時，小物塊無初速地放在A點，運動至B點飛出。要想使小物塊在傳送帶上留下的痕跡最長，傳送帶勻速運動的速度v2至少多大？

Answer 1

【答案】（1）t=1.2 s （2）v2=12.25 m/s

【解析】（1）當小物塊速度小于3 m/s時，小物塊受到豎直向下的重力、垂直傳送帶向上的支持力和沿傳送帶斜向下的摩擦力作用，做勻加速直線運動，設加速度為a1，根據牛頓第二定律

Mgsin 30°+μmgcos 30°=ma1①

解得a1=7.5 m/s2

當小物塊速度等于3 m/s時，設小物塊對地位移為L1，用時為t1，根據勻加速直線運動規律得

②

③

代入解得t1=0.4 s

L1=0.6 m

由于L1<L且μ<tan 30°，當小物塊速度等于3 m/s時，小物塊將繼續做勻加速直線運動至B點，設加速度為a2，用時為t2，根據牛頓第二定律和勻加速直線運動規律得

Mgsin 30°–μmgcos 30°=ma2④

解得a2=2.5 m/s2

又L–L1=v1t2+a2t22⑤

解得t2≈0.8 s

故小物塊由靜止出發從A到B所用時間為t=t1+t2=1.2 s

（2）傳送帶勻速運動的速度越大，小物塊從A點到B點用時越短，當傳送帶速度等于某一值v′時，小物塊將從A點一直以加速度a1做勻加速直線運動到B點，所用時間最短，設用時t0，即

L=a1t02⑥

解得t0=1 s

傳送帶的速度繼續增大，小物塊從A到B的時間保持t0不變，而小物塊和傳送帶之間的相對路程繼續增大，小物塊在傳送帶上留下的痕跡也繼續增大；當痕跡長度等于傳送帶周長時，痕跡為最長smax。

設此時傳送帶速度為v2，則

smax=2L+2πR⑦

smax=v2t0–L⑧

聯立⑥⑦⑧解得v2=12.25 m/s