Question

【題目】如圖所示，水平地面和半圓軌道面均光滑，質量M=1kg的小車靜止在地面上，小車上表面與R=0.24m的半圓軌道最低點P的切線相平．現有一質量m=2kg的滑塊（可視為質點）以v0=6m/s的初速度滑上小車左端，二者共速時小車還未與墻壁碰撞，當小車與墻壁碰撞時即被粘在墻壁上，已知滑塊與小車表面的滑動摩擦因數μ=0.2，g取10m/s2 ， 求：

（1）滑塊與小車共速時的速度及小車的最小長度；
（2）滑塊m恰好從Q點離開圓弧軌道時小車的長度；
（3）討論小車的長度L在什么范圍，滑塊能滑上P點且在圓軌道運動時不脫離圓軌道？

Answer 1

【答案】
（1）解：由動量守恒知，mv0=（m+M）v1，得v1=4m/s

設小車的最小長度為L1

由能量守恒知 ，

得 L1=3m

答：滑塊與小車共速時的速度為4m/s，小車的最小長度為3m；

（2）解：m恰能滑過圓弧的最高點，

小車粘在墻壁后，滑塊在車上滑動，運動到最高點Q，在這個過程對滑塊由動能定理：

解得：L2=1m

所以小車長度L=L1+L2=4m

答：滑塊m恰好從Q點離開圓弧軌道時小車的長度為4m；

（3）解：由（2）可知，滑塊要想運動到Q點，小車的長度L必須滿足：3m≤L≤4m

若滑塊恰好滑至 圓弧到達T點時就停止，則滑塊也能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道．

小車粘在墻壁后，滑塊在車上滑動，運動到T點，在這個過程對滑塊由動能定理：

解得

此時小車的長度為L′=L1+L2′=5.8m，小車的長度滿足：5.8m≤L≤7m．

答：小車的長度L在3m≤L≤4m或5.8m≤L≤7m范圍，滑塊能滑上P點且在圓軌道運動時不脫離圓軌道．

【解析】（1）滑塊在小車滑行過程，系統所受的合外力為零，動量守恒，可求出共同速度．小車的長度與系統產生的內能有關．當兩者速度相同滑塊剛好滑到小車的右端時，小車的長度最短，根據能量守恒求解最小長度；（2）滑塊m恰好從Q點離開圓弧軌道時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求得經過Q點時的速度．小車粘在墻壁后，滑塊在車上滑動，對滑塊從車上開始滑動到運動到Q點的過程，運用動能定理即可求得滑塊滑過的距離，由幾何關系求出小車的長度；（3）滑塊不脫離圓軌道可能從Q點離開軌道，也可能滑到T點，根據動能定理結合上題的結果可求出L的范圍．
【考點精析】掌握動能定理的綜合應用和能量守恒定律是解答本題的根本，需要知道應用動能定理只考慮初、末狀態，沒有守恒條件的限制，也不受力的性質和物理過程的變化的影響.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用時間的動力學問題，都可以用動能定理分析和解答，而且一般都比用牛頓運動定律和機械能守恒定律簡捷；能量守恒定律：能量既不會消滅，也不會創生，它只會從一種形式轉化為其他形式，或者從一個物體轉移到另一個物體，而在轉化和轉移過程中，能量的總量保持不變．