Question

如圖所示，半徑為r的圓形導(dǎo)線框內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)線框所在平面，導(dǎo)線框的左端通過(guò)導(dǎo)線接一對(duì)水平放置的平行的金屬板，兩極間的距離為d，板長(zhǎng)為L(zhǎng)，t=0時(shí)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B從B₀開(kāi)始均勻增大，同時(shí)在板2的左端且非常靠近板2的位置有一質(zhì)量為m帶電量為的液滴以初速度v₀水平向右射入兩板間，該液滴可視為質(zhì)點(diǎn)．
（1）要使該液滴從兩板正中央射出，則射出的液滴的動(dòng)能多大？
（2）要使該液滴能從兩板間射出，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化率k應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)粒子出磁場(chǎng)時(shí)，速度的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)軸線的中點(diǎn)，得出豎直分速度與水平速度的關(guān)系，從而求出射出時(shí)液滴的動(dòng)能．
（2）粒子受重力和電場(chǎng)力，要使該液滴能從兩板間射出，臨界情況是：1、勻速直線運(yùn)動(dòng)離開(kāi)平行金屬板，2、從上級(jí)板邊緣離開(kāi)平行金屬板，抓住兩臨界情況，結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率．

解答：解：（1）粒子出磁場(chǎng)時(shí)，速度的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)軸線的中點(diǎn)，根據(jù)相似三角形得：

vy

v0

=

d 2

L 2

=

d

L

．
解得：vy=v0

d

L

…①
則：E_k=

1

2

mv2=

1

2

m(

v

2 0

+

v

2 y

)…②
解①②得：E_k=

L2+d2

2L2

m

v

2 0

（2）U_C=E=

△Bπr2

△t

=kπr²…③
當(dāng)k有極小值時(shí)：

Uc

d

q-mg=0…④
解③④得：k_min=

mgd

πr2q

當(dāng)k有極大值時(shí)：

Uc

d

q-mg=ma…⑤
t=

L

v0

=

2d a

…⑥
解③⑤⑥得：k_max=

md

πr2q

(g+

2d v 2 0

L2

)
∴

mgd

πr2q

≤k＜

md

πr2q

(g+

2d v 2 0

L2

)
答：（1）要使該液滴從兩板正中央射出，則射出的液滴的動(dòng)能為

L2+d2

2L2

m

v

2 0

．
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化率k應(yīng)滿足

mgd

πr2q

≤k＜

md

πr2q

(g+

2d v 2 0

L2

)．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵抓住臨界情況，結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行分析求解．