Question

在游樂節目中，選手需借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺上，小明和小陽觀看后對此進行了討論．如圖所示，他們將選手簡化為質量m=60kg的質點，選手抓住繩由靜止開始擺動，此時繩與豎直方向夾角α=53°，繩的懸掛點O距水面的高度為H=3m，繩長l不確定，不考慮空氣阻力和繩的質量，浮臺露出水面的高度不計．取重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）若繩長l=2m，選手擺到最低點時速度的大小；
（2）選手擺到最低點時對繩拉力的大小；
（3）若選手擺到最低點時松手，小明認為繩越長，在浮臺上的落點距岸邊越遠；小陽卻認為繩越短，落點距岸邊越遠．請通過推算說明你的觀點．

Answer 1

分析：（1）選手擺到最低點過程中機械能守恒，根據機械能守恒定律即可求得選手擺到最低點時速度的大小．
（2）在最低點時，由重力和繩子的拉力的合力提供向心力，運用牛頓運動定律結合圓周運動的向心力求出繩子對選手的拉力，最后用牛頓第三定律求出選手對繩子的拉力．
（3）選手從最低點開始做平拋運動．對于平拋運動沿水平和豎直兩個方向進行分解，水平方向上是勻速直線運動，豎直方向上時自由落體運動，分別列出位移式子，聯立后進行數學分析，得出當l=1.5m時，水平方向由最大值．再說明自己的觀點．

解答：解：
（1）選手從靜止擺到最低點過程中機械能守恒，對選手運用機械能守恒定律有：
   mgl(1-cosα)=

1

2

mv2  ①
代入數據得：v=

2×10×2×(1-0.6)

m/s=4m/s
（2）選手過最低點時，由重力和繩子的拉力的合力提供向心力，則得：
   F-mg=m

v2

l

  ②
將①式代入②式得：F=（3-2cosα）mg=（3-2×0.6）×60×10N=1080N
由牛頓第三定律可知：選手擺到最低點時對繩拉力F′=F=1080N
（3）選手從最低點開始做平拋運動，則有：
水平方向有：x=vt  ③
豎直方向有：H-l=

1

2

gt2  ④
由①、②、③式得：x=2

l(H-l)(1-cosα)

當l=H-l，即 l=

H

2

=1.5m時，x有最大值．
因此，兩人的看法均不正確，當繩長越接近1.5m時，落點距岸邊越遠．
答：
（1）若繩長l=2m，選手擺到最低點時速度的大小為4m/s；
（2）選手擺到最低點時對繩拉力的大小為1080N；
（3）兩人的看法均不正確，當繩長越接近1.5m時，落點距岸邊越遠．

點評：本題考查到了機械能守恒，圓周運動向心力，動能定理，平拋運動規律及求極值問題．解答第二問時，一定注意要求的是選手對繩子的拉力．解題過程中是對選手進行受力分析的，故不要忘記應用牛頓第三定律．關于物理當中的極值問題，運用數學上函數法求解．