Question

（18分）如圖所示，與紙面垂直的豎直面MN的左側空間中存在豎直向上場強大小為的勻強電場（上、下及左側無界）。一個質量為、電量為的可視為質點的帶正電小球，在時刻以大小為的水平初速度向右通過電場中的一點P，當時刻在電場所在空間中加上一如圖所示隨時間周期性變化的磁場，使得小球能豎直向下通過D點，D為電場中小球初速度方向上的一點，PD間距為，D到豎直面MN的距離DQ為.設磁感應強度垂直紙面向里為正.

（1）試說明小球在0—時間內的運動情況,并在圖中畫出運動的軌跡；
（2）試推出滿足條件時的表達式（用題中所給物理量、、、、來表示）；
（3）若小球能始終在電場所在空間做周期性運動.則當小球運動的周期最大時，求出磁感應強度及運動的最大周期的表達式（用題中所給物理量、、、來表示）。

Answer 1

（1）如甲圖所示 （2）  （3）

試題分析：
（1）在0～t₁時間內做勻速直線運動，在t₁～t₁+t₀時間內做勻速圓周運動  （2分）
軌跡如甲圖所示 （3分）

（2）小球進入電場時，做勻速直線運動時    ①  （1分）
在t₁時刻加入磁場，小球在時間t₀內將做勻速圓周運動（如圖甲所示），設圓周運動周期為，半徑為，豎直向下通過D點，則：  ②  （1分）
    ③      （1分）
 即  ④ （1分）
將③代入④式解得    （2分）
（3）小球運動的速率始終不變，當R變大時，也增加，小球在電場中的運動的周期增加，在小球不飛出電場的情況下，當最大時，有：，即 ⑤  （2分）
     ⑥  （2分）
綜合⑤⑥式得 
     ⑦
綜合軌跡圖可知，小球在電場中運動的最大周期 ⑧  （2分）
綜合上式解得:
所以小球在電場中運動一個周期的軌跡如圖乙所示：