Question

如圖（a）所示，有兩級光滑的絕緣平臺，高一級平臺距離絕緣板的中心O的高度為h，低一級平臺高度是高一級平臺高度的一半．絕緣板放在水平地面上，板與地面間的動摩擦因數為μ，一輕質彈簧一端連接在絕緣板的中心，另一端固定在墻面上．邊界GH左邊存在著正交的勻強電場和變化的磁場，電場強度為E，磁感應強度變化情況如圖（b）所示，磁感應強度大小均為B．有一質量為m、帶負電的小球從高一級平臺左邊緣以一定初速滑過平臺后在t=0時刻垂直于邊界GH進入復合場中，設小球剛進入復合場時磁場方向向外且為正值．小球做圓周運動至O點處恰好與絕緣板發生彈性碰撞，碰撞后小球立即垂直于邊界GH返回并滑上低一級平臺，絕緣板從C開始向右壓縮彈簧的最大距離為S到達D，求：
（1）磁場變化的周期T．
（2）小球從高一級平臺左邊緣滑出的初速度v．
（3）絕緣板的質量M．
（4）絕緣板壓縮彈簧具有的彈性勢能E_P．

Answer 1

分析：（1）帶電小球進入復合場做勻速圓周運動，重力與電場力平衡，可得到場強．小球在t=

1

4

T時刻進入復合場，與物塊碰后做勻速圓周運動，恰能垂直于邊界GH返回低一級平臺上，返回低一級臺階的過程，磁場方向與小球進入復合場時磁場方向相反，說明小球從高一級平臺進入復合場到與物塊碰撞經過的時間等于

T

4

，由小球做勻速圓周運動的周期公式T′=

2πm

qB

即可求出交變磁場變化的周期T；
（2）小球在復合場中由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律求解小球從高一級平臺左邊緣滑出的初速度v；
（3）小球與絕緣板的碰撞是彈性碰撞，系統動量守恒，機械能也守恒，根據守恒定律列方程后聯立求解即可；
（4）根據牛頓第二定律求出小球與物塊碰后的速率，根據能量守恒求出物塊獲得的動能，并由能量守恒求解絕緣物塊從C點運動至D點時，彈簧具有的彈性勢能E_p．

解答：解析：（1）帶電小球垂直于邊界GH進入復合場，運動到O點恰與絕緣板碰撞，碰后能返回平臺，說明小球在復合場中　　qE=mg ①
洛侖茲力做勻速圓周運動的向心力，且經過半個圓周到達O點，碰后再經過半個周期回到二級平臺．由   qvB=m

v2

r

T=

2πr

v

得到帶電粒子在磁場運動的周期公式 T=

2πm

qB

②
①②消去q，得交變磁場變化的周期 T=

2mE

gB

；
（2）由牛頓第二定律有：qvB=m

v2

r

  ③
由幾何關系有：r=

1

2

h  ④
①③④聯立，解得：v=

gBh

2E

  ⑤
（3）設小球碰撞后的速度大小為V，絕緣板的速度大小為V_m．則題意可知，小球返回的半徑r′=

r

2

=

h

4

，又根據r=

mv

qB

可得：V=

v

2

  ⑥
小球與絕緣板碰撞過程中，以小球和絕緣板為系統，由動量守恒得：mv=-mV+MV_m  ⑦
而小球與絕緣板發生的是彈性碰撞，它們構成的系統機械能守恒，有：
有：

1

2

mv²=

1

2

mV²+

1

2

MV_m² ⑧
⑤⑥⑦⑧聯立解得：M=3m   ⑨
（4）絕緣板從C點運動至D點的過程中，根據功能關系有：
E_P+μMgS=

1

2

MV_m²   ⑩
①③⑤⑥⑦⑨⑩聯立解得：E_P=

3m(gBh)2

32E2

-3μmgS．              
答：（1）磁場變化的周期T為

2mE

gB

．
（2）小球從高一級平臺左邊緣滑出的初速度v為

gBh

2E

．
（3）絕緣板的質量M為3m．
（4）絕緣板壓縮彈簧具有的彈性勢能E_P為

3m(gBh)2

32E2

-3μmgS．

點評：本題考查洛侖茲力、動量守恒、機械能守恒、功能原理等等知識，考查學生綜合分析帶電粒子在復合場運動和碰撞問題等能力．本題空間思維能力要求高，信息量多，沒有分清物理情景是不可能作出正確的計算的．在處理問題時既要注意摸清過程，又要分清物體在各點的狀態，運用正確的公式列式，才能取得成效，是一道不錯的壓軸題．