Question

如圖甲所示，在x＞0的空間中存在沿y軸負方向的勻強電場和垂直于xOy平面向里的勻強磁場，電場強度大小為E，磁感應強度大小為B.一質量為m，帶電量為q(q＞0)的粒子從坐標原點O處，以初速度v₀沿x軸正方向射入，粒子的運動軌跡見圖甲，不計粒子的重力．

(1)求該粒子運動到y＝h時的速度大小v；

(2)現只改變入射粒子初速度的大小，發現初速度大小不同的粒子雖然運動軌跡(y－x曲線)不同，但具有相同的空間周期性，如圖乙所示；同時，這些粒子在y軸方向上的運動(y－t關系)是簡諧運動，且都有相同的周期T＝.

Ⅰ.求粒子在一個周期T內，沿x軸方向前進的距離s；

Ⅱ.當入射粒子的初速度大小為v₀時，其y－t圖象如圖丙所示，求該粒子在y軸方向上做簡諧運動的振幅A_y .

Answer 1

由于洛倫茲力不做功，只有電場力做功，由動能定理有

－qEh＝mv²－mv①

由①式解得v＝②

(2)Ⅰ.由圖乙可知，所有粒子在一個周期T內沿x軸方向前進的距離相同，即都等于恰好沿x軸方向勻速運動的粒子在T時間內前進的距離．設粒子恰好沿x軸方向勻速運動的速度大小為v₁，則

qv₁B＝qE③

又s＝v₁T④

式中T＝

由③④式解得s＝⑤

Ⅱ.設粒子在y方向上的最大位移為y_m(圖丙曲線的最高點處)，對應的粒子運動速度大小為v₂(方向沿x軸)，因為粒子在y方向上的運動為簡諧運動，因而在y＝0和y＝y_m處粒子所受的合外力大小相等，方向相反，則

qv₀B－qE＝－(qv₂B－qE)⑥

由動能定理有－qEy_m＝mv－mv⑦

又A_y＝y_m⑧

由⑥⑦⑧式解得A_y＝