Question

（2013?德州二模）如圖甲所示，在直角坐標(biāo)系0≤x≤L區(qū)域內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，右側(cè)有個(gè)以點(diǎn)（3L，0）為圓心，半徑為L(zhǎng)的圓形區(qū)域，圓形區(qū)域與x軸的交點(diǎn)分別為M、N．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為ec的電子，從y軸上的A點(diǎn)以速度v₀沿x軸正方向射入電場(chǎng)，飛出電場(chǎng)后恰能從M點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域，速度方向與x軸夾角為30°，電子從M點(diǎn)射入的瞬間在圓形區(qū)域加如圖乙所示周期性變化的磁場(chǎng)（磁場(chǎng)從t=0時(shí)刻開始變化，且以垂直于紙面向外為正方向），電子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后從N點(diǎn)飛出，速度方向與x軸夾角也為30°．求：

（1）0≤x≤L區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小；
（2）A點(diǎn)的縱坐標(biāo)y_A；
（3）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B．的可能值及磁場(chǎng)的變化周期T．

Answer 1

分析：（1）電子在電場(chǎng)中作類平拋運(yùn)動(dòng)，離開電場(chǎng)時(shí)電子的速度方向與x軸夾角30°，得到豎直方向分速度v_y．運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究可知：電子豎直方向上做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合可求出勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小；
（2）電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過程，由位移公式求得豎直方向的側(cè)移，電子飛出電場(chǎng)到M點(diǎn)的過程中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系得到A點(diǎn)的縱坐標(biāo)y_A；
（3）先根據(jù)電子剛飛出時(shí)速度的分解，求出電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度．電子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求出軌跡半徑的通項(xiàng)，由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)合求解磁感應(yīng)強(qiáng)度B的可能值及磁場(chǎng)的變化周期T．

解答： 解：（1）電子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由速度關(guān)系得：由速度關(guān)系解得v_y=v₀tan30°
  水平方向：L=v₀t
  豎直方向：v_y=

eE

m

t
聯(lián)立解得，E=

3 m v 2 0

3eL

（2）電子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)過程，
  y₁=

1

2

?

eE

m

t2
電子飛出電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)到M的過程中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則
  y₂=Ltan30°
故A點(diǎn)的縱坐標(biāo)y_A=y₁+y₂=

3

2

L
（3）電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為
   v=

v0

cos30°

=

2 3

3

v0
電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖乙所示，則幾何知識(shí)得
  （2n+1）R=2L（n=0，1，2，…）
電子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得
  evB₀=m

v2

R

解得，B₀=

(2n+1) 3 mv0

3eL

（n=0，1，2，…）
電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為 T′=

2πm

eB0

由題意得：

T

2

=

T′

6

解得，T=

2 3 πL

3(2n+1)v0

（n=0，1，2，…）
解：（1）0≤x≤L區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小是

3 m v 2 0

3eL

；
（2）A點(diǎn)的縱坐標(biāo)y_A是

3

2

L；
（3）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的可能值

(2n+1) 3 mv0

3eL

（n=0，1，2，…），磁場(chǎng)的變化周期T為

2 3 πL

3(2n+1)v0

（n=0，1，2，…）．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是：電場(chǎng)中將粒子的運(yùn)動(dòng)沿著水平方向和豎直方向正交分解，然后根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式分析求解；磁場(chǎng)中，要畫出軌跡圖分析，特別是第三小題，要抓住周期性，根據(jù)幾何關(guān)系求解電子的半徑滿足的條件．