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三棱錐A-BCD及其側視圖、俯視圖如圖所示，設M，N分別為線段AD，AB的中點，P為線段BC上的點，且MN⊥NP．

（1）證明：P是線段BC的中點；
（2）求二面角A-NP-M的余弦值．

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如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點A₁在平面ABC內的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC₁=2．
（Ⅰ）證明：AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）設直線AA₁與平面BCC₁B₁的距離為

3

，求二面角A₁-AB-C的大小．

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已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點（0，

3

），離心率為

1

2

，左右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=-

1

2

x+m與橢圓交于A、B兩點，與以F₁F₂為直徑的圓交于C、D兩點，且滿足

|AB|

|CD|

=

5 3

4

，求直線l的方程．

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如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是線段AB的中點．
（Ⅰ）求證：C₁M∥平面A₁ADD₁；
（Ⅱ）若CD₁垂直于平面ABCD且CD₁=

3

，求平面C₁D₁M和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值．

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圓x²+y²=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P（如圖）．
（Ⅰ）求點P的坐標；
（Ⅱ）焦點在x軸上的橢圓C過點P，且與直線l：y=x+

3

交于A、B兩點，若△PAB的面積為2，求C的標準方程．

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