Question

圓x²+y²=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P（如圖）．
（Ⅰ）求點P的坐標；
（Ⅱ）焦點在x軸上的橢圓C過點P，且與直線l：y=x+

3

交于A、B兩點，若△PAB的面積為2，求C的標準方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設切點P的坐標為（x₀，y₀），求得圓的切線方程，根據切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的三角形的面積S=

8

x0•y0

．再利用基本不等式求得S取得最小值，求得點P的坐標．
（Ⅱ）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，則

2

a2

+

2

b2

=1．把直線方程和橢圓的方程聯立方程組，轉化為關于x的一元二次方程，里哦也難怪韋達定理、弦長公式求出弦長AB以及點P到直線的距離d，再由△PAB的面積為S=

1

2

•AB•d=2，求出a²、b²的值，從而得到所求橢圓的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設切點P的坐標為（x₀，y₀），且x₀＞0，y₀＞0．
則切線的斜率為-

x0

y0

，故切線方程為 y-y₀=-

x0

y0

（x-x₀），即x₀x+y₀y=4．
此時，切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的三角形的面積S=

1

2

•

4

x0

•

4

y0

=

8

x0•y0

．
再根據 x02+y02=4≥2

x0•y0

，可得當且僅當x₀=y₀=

2

時，x₀•y₀取得最大值，即S取得最小值，
故點P的坐標為（

2

，

2

）．
（Ⅱ）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，∵橢圓C過點P，∴

2

a2

+

2

b2

=1．
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=x+ 3

 求得b²x²+4

3

x+6-2b²=0，
∴x₁+x₂=-

4 3

b2

，x₁•x₂=

6-2b2

b2

．
由 y₁=x₁+

3

，y₂=x₂+

3

，可得AB=

2

|x₂-x₁|=

2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

2

•

( -4 3 b2 )2-4× 6-2b2 b2

=

2

b2

8b4-24b2+48

．
由于點P（

2

，

2

）到直線l：y=x+

3

的距離d=

| 2 - 2 + 3 |

2

，
△PAB的面積為S=

1

2

•AB•d=2，可得 b⁴-9b²+18=0，解得 b²=3，或 b²=6，
當b²=6 時，由

2

a2

+

2

b2

=1求得a²=3，不滿足題意；
當b²=3時，由

2

a2

+

2

b2

=1求得a²=6，滿足題意，故所求的橢圓的標準方程為

x2

6

+

y2

3

=1．

點評：本題主要考查直線和圓相切的性質，直線和圓錐曲線的位置關系，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，屬于難題．