Question

【題目】已知函數.

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數的單調區間；

（3）若且，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

(1)代入,再根據導數的幾何意義求解即可.

(2)易得,因為,故分與兩種情況分析導數的正負,從而得出單調區間即可.

(3)根據(2)中的單調性,分與兩種情況討論的單調性,并求出最值,再根據的值域滿足的關系結合題意求解即可.

（1）若,則,故,,,

∴所求切線方程為；

（2）函數的定義域為,,

當時,,函數在上單調遞減,

當時,令得,令得,故函數在單調遞減,在單調遞增；

（3）當時,函數在上單調遞減,

又,而,不合題意；

當時,由（2）可知,,

（i）當,即時,,不合題意；

（ii）當,即時,,滿足題意；

（iii）當,即時,則,

∵,函數在單調遞增,

∴當時,,

又∵函數的定義域為,

∴,滿足題意.

綜上,實數的取值范圍為.