Question

【題目】已知函數，

（1）若恒成立，求實數的最大值；

（2）設函數，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據，對不等式進行參變分離，得到，

令，即恒成立等價于，然后通過求導，得出即可；

（2）由（1）知，，只需證.

變形，令，故只需證即可，

通過求導得到，

注意到，還需要令進行二次求導，進而判斷出的正負情況，然后，得到的單調性，進而得出，即可證明結論成立.

解：（1）由題意，原不等式可化為，

令，則，

由得在上單調遞增減；

由得在上單調遞增.

所以，所以.

（2）由（1）知，，只需證.

令，則，

令，，在上單調遞增，

注意到，所以當，，，在上單調遞減；

當，，，在上單調遞增.

所以，

∴，當且僅當時等號成立.

而，當且僅當時等號成立.

所以，從而.