Question

【題目】如圖，ABC為一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，為了重建草坪，設計師準備了兩套方案：
方案一：擴大為一個直角三角形，其中斜邊DE過點B，且與AC平行，DF過點A，EF過點C；
方案二：擴大為一個等邊三角形，其中DE過點B，DF過點A，EF過點C．
（1）求方案一中三角形DEF面積S1的最小值；
（2）求方案二中三角形DEF面積S2的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在方案一：在三角形AFC中，設∠ACF=α，α∈（0， ），

則 ，

因為DE∥AC，所以∠E=α， ，

且 ，即 ，

解得 ，

所以 ，

所以當sin2α=1，即α=45°時，S1有最小值

（2）解：在方案二：在三角形DBA中，設∠DBA=β，β∈（0， ），則 ，

解得 ，

三角形CBE中，有 ，解得 ，

則等邊三角形的邊長為

所以邊長的最大值為 ，所以面積S2的最大值為

【解析】（1）在方案一：在三角形AFC中，設∠ACF=α，α∈（0， ），表示出三角形DEF面積S1 ， 利用基本不等式求出最小值；（2）在方案二：在三角形DBA中，設∠DBA=β，β∈（0， ），表示出三角形DEF面積S1 ， 利用輔助角公式求出最小值．
【考點精析】關于本題考查的基本不等式在最值問題中的應用，需要了解用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”才能得出正確答案．