Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E，F分別為AD，BC的中點(diǎn)，AE=EF，．將四邊形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD（如圖2），G是BF的中點(diǎn)．

（1）證明：AC⊥EG；

（2）在線段BC上是否存在一點(diǎn)H，使得DH∥平面ABFE？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）求二面角D-AC-F的大小．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）推導(dǎo)出，，，從而平面，進(jìn)而，四邊形為正方形，，由此能證明平面，從而；（2）由，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，由此利用向量法能求出在線段上存在一點(diǎn)，使得平面，并能求出的值；（3）求出平面的法向理和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．

證明：（1）在圖1中，，

可得△AEF為等腰直角三角形，AE⊥EF．

因?yàn)?/span>AD∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC．

因?yàn)槠矫?/span>ABFE⊥平面EFCD，且兩平面交于EF，CF平面CDEF，

所以CF⊥平面ABFE．

又EG平面ABFE，故CF⊥EG；

由G為中點(diǎn)，可知四邊形AEFG為正方形，所以AF⊥EG；

又AF∩FC=F，所以EG⊥平面AFC．又AC平面AFC，所以AC⊥EG

（2）由（1）知：FE，F(xiàn)C，F(xiàn)B兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz，

設(shè)FE=1，則F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）．

設(shè)H是線段BC上一點(diǎn)，．

因此點(diǎn)．

由（1）知為平面ABFE的法向量，=（0，2，0），

因?yàn)?/span>平面ABFE，所以平面，當(dāng)且僅當(dāng)，

即，解得．

．

（3）設(shè)A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）．

由（1）可得，是平面的法向量，．，

設(shè)平面ACD的法向量為n=（x，y，z），

由即

令x=1，則y=1，z=1．于是n=（1，1，1）．

所以．

所以二面角D-AC-F的大小為90°