Question

設橢圓：的左、右焦點分別為，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且，若過，，三點的圓恰好與直線：相切. 過定點的直線與橢圓交于，兩點（點在點，之間）.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線的斜率，在軸上是否存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形. 如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，請說明理由；

（Ⅲ）若實數滿足，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）解：因為，

所以為中點.

設的坐標為，

因為，

所以，，且過三點的圓的圓心為，半徑為.           ………………………… 2分

因為該圓與直線相切，所以.

解得，所以，.

    故所求橢圓方程為.    …………………………………… 4分

（Ⅱ）設的方程為（），

    由 得.

    設，，則.……………………5分

    所以.

              =

.

由于菱形對角線互相垂直，則.……………………6分

    所以.

故.

    因為，所以.

    所以

即.

所以

解得. 即.

因為，所以.

故存在滿足題意的點且的取值范圍是. ……………… 8分

（Ⅲ）①當直線斜率存在時，

設直線方程為，代入橢圓方程

得.

由，得.       …………………………………………… 9分

設，，

則，.  

又，所以. 所以. …… 10分

所以，.

所以.  所以.

整理得.       ……………………………………… 11分

因為，所以. 即. 所以.

解得.

又，所以.  …………………………………… 13分

②又當直線斜率不存在時，直線的方程為，

此時，，，，

，所以.

所以，即所求的取值范圍是. ……………… 14分