Question

設橢圓：的左、右焦點分別為、，上頂點為，在軸負半軸上有一點，滿足，且⊥．

 （Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若過、、三點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；                       

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于、兩點，

若點使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，求的取值范圍．      

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由題意知，，

    ∵知為的中點，⊥

∴中，

，又

∴

故橢圓的離心率    ……………………………………………3分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知得，于是, ，

    的外接圓圓心為（，0），半徑=,

所以，解得=2，∴，， 

所求橢圓方程為      ………………………………………6分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，設，

    由           代入得

    則，  ………………………8分

   

    由于菱形對角線垂直，則

    故

即

         ……………………………10分

    由已知條件知

∴  

∴  故的取值范圍是．……12分

【解析】略