Question

若函數f（x）=

ax+b

x2+1

的最大值為4，最小值為-1，求實數a，b的值．

Answer 1

分析：令y=f（x）=

ax+b

x2+1

，去分母整理得yx²-ax+y-b=0，將y看作是系數，此方程一定有解，故判別式△≥0，由此得到關于y的不等式，利用根系關系建立起常數a，b的方程，從而求出所求．

解答：解：令y=f（x）=

ax+b

x2+1

，
去分母得yx²-ax+y-b=0，①
對于①，有實根的條件是△≥0，
即（-a）²-4y（y-b）≥0，
∴4y²-4by-a²≤0．又-1≤y≤4，
∴4y²-4by-a²=0的兩根為-1和4．
∴

-1+4=b -1×4=- a2 4

，解得

a=4 b=3

或

a=-4 b=3

．

點評：本題考點是函數的值域，考查了判別式法求值域的變形運用，得到了關于函數值y的不等式，再由根系關系建立關于所求參數的方程求參數，此方法是解決分式型二次函數值域求法的便捷方法，屬于中檔題．