Question

若橢圓

x2

m

+

y2

n

=1（m＞n＞0）和雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）有相同的焦點F₁，F₂，P是兩條曲線的一個交點，則PF₁•PF₂的值是

m-a²

．

Answer 1

分析：運用橢圓和雙曲線的定義寫出兩個定義式，然后平方，觀察之后，兩式相減，求出整體未知數PF₁•PF₂的值．

解答：解析：PF₁+PF₂=2

m

，|PF₁-PF₂|=2a，
所以PF

2 1

+PF

2 2

+2PF₁•PF₂=4m，PF

2 1

-2PF₁•PF₂+PF

2 2

=4a²，兩式相減得：
4PF₁•PF₂=4m-4a²，∴PF₁•PF₂=m-a²．
故答案：m-a²．

點評：本題主要考查圓錐曲線的綜合問題．解決本題的關鍵在于根據橢圓和雙曲線有相同的焦點F₁、F₂，利用定義化簡．