Question

a

=(x2，2)，

b

=(x，1)
（1）若

a

∥

b

，求x；
（2）若函數f(x)=

a

•

b

對應的圖象記為C
（I）求曲線C在A（1，3）處的切線方程？
（II）若直線l為曲線C的切線，并且直線l與曲線C有且僅有一個公共點，求所有這樣直線l的方程？

Answer 1

分析：（1）根據兩個向量平行的坐標表示，列出關于x的方程，解之即可得到實數x的值；
（2）由向量數量積的坐標表示，得y=f（x）=x²•x+1×2=x³+2
（I）求出導數f'（x）在x=3處的函數值，即得切線的斜率，再用直線方程的點斜式列式，化簡整理即可得到曲線C在A（1，3）處的切線方程；
（II）設切點坐標P（t，t³+2），得曲線C在點P處的切線方程為y=3t²x-2t³+2．將此切線方程與y=f（x）聯解，所得方程有唯一實數根，可得t=0．由此即可得到

解答：解：（1）∵

a

=(x2，2)，

b

=(x，1)，且

a

∥

b

∴x²•1=2•x，解之得x=0或2
（2）f(x)=

a

•

b

=x²•x+1×2=x³+2
（I）對f（x）求導數，得f'（x）=3x²，
∴曲線C：y=f（x）在A（1，3）處切線的斜率k=f'（1）=3
結合直線的點斜式方程，得切線方程是y-3=3（x-1），即y=3x．
（II）設切點坐標P（t，t³+2），得在點P處切線的斜率k=f'（t）=3t²．
∴曲線C在點P處的切線方程為y-（t³+2）=3t²（x-t），即y=3t²x-2t³+2
由

y=3t2x-2t3+2 y=x3+2

得3t²x-2t³+2=x³+2，即x³-3t²x+2t³=0
∴（x-t）²（x+2t）=0，
因為切線與曲線C有且僅有一條一個公共點，所以只有t=0時以上方程有相等的實數根，此時l方程為y=2
∴存在直線l為曲線C的切線，并且直線l與曲線C有且僅有一個公共點，此時切線方程為y=2．

點評：本題以向量的坐標運算為載體，求三次多項式函數圖象的切線問題，著重考查了平面向量的坐標表示和利用導數研究曲線的切線等知識，屬于中檔題．