Question

用反證法證明．若a、b、c均為實數，且a=x²-2y+

π

2

，b=y²-2z+

π

3

，c=z²-2x+

π

6

，求證：a、b、c中至少有一個大于0．

Answer 1

分析：用反證法，假設a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出現矛盾，從而得到假設不正確，命題得證．

解答：證明：設a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
∴a+b+c≤0，
而a+b+c=（x²-2y+

π

2

）+（y²-2z+

π

3

）+（z²-2x+

π

6

）
=（x²-2x）+（y²-2y）+（z²-2z）+π=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3，
∴a+b+c＞0，
這與a+b+c≤0矛盾，
故假設是錯誤的，
故a、b、c中至少有一個大于0

點評：本題的考點是反證法與放縮法，主要考查用反證法證明數學命題，推出矛盾，是解題的關鍵和難點．