Question

（Ⅰ）已知a＞b＞0，求證：

a

-

b

＜

a-b

；
（Ⅱ）已知x，y，z均為實數，且a=x²-2y+

π

2

，b=y²-2z+

π

3

，c=z²-2x+

π

6

求證：a，b，c中至少有一個大于0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用綜合法，證明0＜（

a

-

b

）²＜（

a-b

）²即可；
（Ⅱ）采用反證法，a、b、c中至少有一個大于零對立面是沒有一個大于0．故可假設三者皆小于等于0推出矛盾來．

解答：證明：（Ⅰ）∵a＞b＞0，∴b＜

ab

，∴2b＜2

ab

∴-2

ab

＜-2b
∴a-2

ab

+b＜a+b-2b
∴0＜（

a

-

b

）²＜（

a-b

）²
∴

a

-

b

＜

a-b

；
（Ⅱ）假設a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，則a+b+c≤0．
而a+b+c=x²-2y+

π

2

+y²-2z+

π

3

+z²-2x+

π

6

=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3，
∵π-3＞0，且無論x、y、z為何實數，（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²≥0，
∴a+b+c＞0，這與a+b+c≤0矛盾
因此，a、b、c中至少有一個大于0．

點評：本題的考點是不等式的證明，考查綜合法與反證法．反證法，其特征是先假設命題的否定成立，推證出矛盾說明假設不成立，得出原命題成立．反證法一般適合用來證明正面證明較麻煩，而其對立面包含情況較少的情況．